定义
分配格是交与并互相满足分配律的格:
- $x \land (y \lor z) = (x\land y) \lor (x\land z)$;
- $x\lor (y\land z) = (x\lor y) \land (x\lor z)$.
注. 两条分配律中第一条分配律更加常见 (例如在意象中有 $X\times (Y+Z) = X\times Y + X\times Z$), 而第二条较少见. 在格中, 第一条推出第二条 (将右端展开即可).
性质
对称性
设 $L$ 是分配格, 则 $L^{\mathrm{op}}$ 也是分配格.
例
开子空间
- 拓扑空间的开集构成分配格.
- 对于位象 $X$, $\mathcal O(X)$ 为分配格.
向下封闭子集
对任意偏序集 $P$, 其向下封闭子集的全体 $\mathsf{Down}(P)$ 构成分配格.
注意到偏序集 $P$ 的向下封闭子集也可以视为函子
$$
P \to \{0 < 1\},
$$
故 $\mathsf{Down}(P)$ 可视为函子范畴 $\mathsf{Fun}(P,\{0<1\})$, 也即 $P^{\mathrm{op}}$ 上的 ($(0,1)$-范畴意义的) 预层范畴.
由此及 $\{0<1\}$ 是分配格可以立刻看出 $\mathsf{Down}(P)$ 是分配格.
定理 (Birkhoff). 每个有限分配格都是某个偏序集上的预层范畴.
该定理可理解为一般的预层范畴的识别定理在 $(0,1)$-范畴语境下的特例. 这里的有限性保证了一个素元 $x\in P$ 一定是完全素元 (即为完全紧对象), 也即 $\operatorname{Hom}(x,-)\colon P\to \{0<1\}$ 保持余极限.
相关概念
Boole 代数