理想 (偏序集) [理想(偏序集)]

定义

设偏序集 $P$ 具有有限并. 定义 $P$ 的理想为满足如下条件的子集 $I\subset P$:

• 对任意 $x\in I$, $y\in P$, 若 $y\leq x$, 则 $y\in I$;
• 对任意 $x,y\in I$, 有 $x\lor y\in I$.

换言之, 理想是关于有限并封闭的向下封闭子集.

注意到 $I$ 为理想的条件又可以表述为

• $I$ 为向下封闭子集;
• $I$ 为滤范畴.

若将向下封闭子集 $I$ 理解为函子 $F\colon P \to \{0<1\}$, 此时 $I = F^{-1}(0)$, 同时 $I$ 可理解为 $F$ 的元素的范畴, 则 $I$ 为理想的条件又可以表述为 $F$ 为平坦函子. 因为平坦函子的一个刻画就是其元素范畴为滤范畴.

进而 $P$ 的理想构成的偏序集 $\mathsf{Ideal}(P)$ 等价于其 ind-完备化 $\mathsf{Ind}(P)$.

素理想

若偏序集 $P$ 具有有限并和有限交 (即 $P$ 构成格), 当理想 $I$ 满足如下等价条件时, 称之为素理想:

• 对 $x,y\in P$, 若 $x \land y\in I$, 则 $x\in I$ 或 $y\in I$;
• $I$ 是某个格同态 $P\to 2$ 的核;
• $I$ 是极大理想, 即包含 $I$ 的理想仅有 $I$ 与 $P$.