Isbell 对偶 [Isbell对偶]

观念

Isbell 对偶是预层和余预层之间的一对伴随, 在许多场合可理解为代数–几何对偶.

陈述

设 $\mathcal C$ 为 $\mathcal V$-充实范畴, 则有伴随 $\mathcal O \dashv \operatorname{Spec},$ 其中 $$ \mathcal O \colon \mathsf{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathcal V) \to \mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathcal V)^{\mathrm{op}}, $$ $$ \mathcal O(X)(c) = \operatorname{Hom}(X,\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,c)); $$ $$ \operatorname{Spec} \colon \mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathcal V)^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathcal V), $$ $$ \operatorname{Spec}(A)(c) = \operatorname{Hom}(\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,-),A). $$

其一种直观如下. 设想 $\mathcal C$ 是某种几何对象的范畴, 其上的预层范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\mathcal V)$ 是余完备化后的几何对象的范畴. 对偶地, $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ 是某种代数对象的范畴, $\mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathcal V)^{\mathrm{op}}$ 是… (todo)