定义
设伴随
$$
\mathcal C\
\begin{aligned}
\overset{F}{\rightarrow}\\
\bot\\
\underset{G}{\leftarrow}
\end{aligned}\
\mathcal D
$$
的单位为 $\eta\colon 1\to GF$, 余单位为 $\varepsilon\colon FG\to 1$. 若以下等价条件成立, 则称之为幂等伴随 (idempotent adjunction):
- $\varepsilon F\colon FGF \to F$ 为等价;
- $G\varepsilon\colon GFG\to G$ 为等价;
- $G\varepsilon F\colon GFGF \to GF$ 为等价, 即伴随给出的单子 $GF$ 为幂等单子;
- $F\eta\colon F\to FGF$ 为等价;
- $\eta G\colon G\to GFG$ 为等价;
- $F\eta G\colon FG \to FGFG$ 为等价, 即伴随给出的余单子 $FG$ 为幂等余单子;
- 伴随 $F\dashv G$ 有如下分解, 其中 $\mathcal E$ 为 $GF,FG$ 的不动点, $F_2$, $G_1$ 为全忠实函子:
$$
\mathcal C\
\begin{aligned}
\overset{F_1}{\rightarrow}\\
\bot\\
\underset{G_1}{\hookleftarrow}
\end{aligned}\
\mathcal E\
\begin{aligned}
\overset{F_2}{\hookrightarrow}\\
\bot\\
\underset{G_2}{\leftarrow}
\end{aligned}\
\mathcal D
$$
例
拓扑空间与位象
清醒空间 (sober space) 的范畴是拓扑空间与位象之间的伴随的不动点.