观念
局部连通意象是拓扑学中局部连通空间的类比.
定义
固定一个基意象 $\mathcal S$.
定义. 对于 $\mathcal S$-意象 $f\colon \mathcal E \to \mathcal S$, 若如下等价条件成立, 则称之为局部连通意象 (在 $\infty$-意象语境中称为局部 $\infty$-连通意象):
- $f^*$ 有左伴随 $f_!\colon \mathcal E\to\mathcal S$;
- $f^*$ 保持依值积: 对 $\mathcal S$ 中任意态射 $h\colon A\to B$, 有 ${f_{/B}}^*\Pi_h = \Pi_{f^*h} {f_{/A}}^*$ (这是一个 Beck–Chevalley 条件).
此时 $f_!$ 的直观是取 “连通分支的集合” $\pi_0$, 或者在 $\infty$-意象语境中是取 “基本 $\infty$-群胚” (同伦型) $\Pi$.
命题. 一个局部 $\infty$-连通意象的形正是 $\Pi (1)$.
证明. 由形的定义立得.
定义. 若进一步有意象的形为一个点:
$$
\Pi (1) = 1,
$$
这等价于 $f_! f^*\to\mathrm{id}_{\mathcal S}$ 为等价,
也即 $f^*$ 全忠实;
则称 $f$ 为整体 $\infty$-连通 $\mathcal S$-意象.
例
局部可缩空间
设 $X$ 为局部可缩拓扑空间, 则 $\mathsf{Ani}$-值层范畴 $\operatorname{Sh}(X,\mathsf{Ani})$ 是局部 $\infty$-连通意象.