有限拓扑空间 [有限拓扑空间]

性质

命题.

• 有限集 $X$ 上的拓扑一一对应于 $X$ 上的预序关系, 也即满足自反性和传递性的关系.
• 有限集 $X$ 上的 $T_0$ 拓扑一一对应于 $X$ 上的偏序关系, 也即满足自反性, 反对称性和传递性的关系.

在上述两种情形中, 一个拓扑对应的序关系是

• $x\leq y$ 当且仅当 $x$ 的每个邻域都包含 $y$.

反过来, 给定预序 $\leq$, $$ \uparrow x = \{y\in X\mid x\leq y\} $$ 构成拓扑基.

例

为了枚举有限拓扑空间, 我们可以先枚举连通 $T_0$ 拓扑空间, 即连通的偏序.

所有不超过 $4$ 个点的连通偏序:

$0$ 个点

• $\varnothing$

$1$ 个点

• $\{a\}$

$2$ 个点

• $\{a < b\}$

$3$ 个点

• $\{a < b < c\}$
• $\{a < b, a < c\}$
• $\{a < c, b < c\}$

$4$ 个点 (有 $10$ 个连通偏序)

• $\{a < b < c < d\}$
• $\{a < b < c, b < d\}$
• $\{a < b, a < c, a < d\}$
• $\{a < b, a < c < d\}$
• $\{a < b < d, c < d\}$
• $\{a < c, b < c < d\}$
• $\{a < c, b < c, b < d\}$
• $\{a < d, b < d , c < d\}$
• $\{a < b, a < c, b < d, c < d\}$
• $\{a < c, a < d, b < c, b < d\}$