观念
超函数 (hyperfunction) 是一种基于全纯函数定义的广义函数, 包含了所有的分布, 并且构成松软层.
参考 Schapira.
定义
一维
设 $M$ 为 $\mathbb{R}$ 上的开区间, 取其在 $\mathbb{C}$ 中的开邻域 $X$ 使得 $X\cap \mathbb{R} = M$. 记 $\mathcal O(U)$ 为复平面开集 $U$ 上的全纯函数的空间.
定义 $M$ 上的超函数的空间为
$$
\mathcal B(M) = \mathcal O(X\setminus M) / \mathcal O(X).
$$
直观: $\mathcal O(X\setminus M)$ 中的函数由上下两部分组成, 其对应的超函数直观上是上下两部分在 “边界” (即趋向实轴的部分) 上的差.
事实上, $\mathcal B(M)$ 不依赖 $X$ 的选取, 且 $I\mapsto \mathcal B(I)$ ($I$ 为开集) 构成 $M$ 上的松软层.
超函数的空间 $\mathcal B(M)$ 也可定义为局部上同调
$$
\mathcal B(M) = H_M^1(X,\mathcal O_X).
$$
例
δ-分布
$\delta$-分布是 $\dfrac{1}{2\pi i z}$ 的 “边值”.
对于 $\mathbb{R}$ 上的连续函数 $f$, 有
$$
\langle\delta,f\rangle = f(0) = \frac{1}{2\pi i}\lim_{\epsilon\to 0+}\int_{\mathbb{R}} \Big(\frac{f(x)}{x-i\varepsilon} - \frac{f(x)}{x+i\varepsilon}\Big) dx.
$$
因此我们可以不严格地认为
$$
\delta(x) = \frac{1}{2\pi i} \Big(\frac{1}{x- 0 i} - \frac{1}{x+0i}\Big).
$$
类似地, 对任意支集在紧集 $K\subset\mathbb{R}$ 上的分布 $u$, 卷积 $u * \dfrac{1}{2\pi i z}$ 是 $\mathbb{C} \setminus K$ 上的全纯函数, 其 “边值” 为分布 $u$.