观念
流形 $M$ 上微分算子的象征是余切丛 $T^*M$ 上的函数, 其零点在微局部分析中描述了微分方程的解的行为.
定义
对于流形 $M$ 上的线性微分算子 $D\colon \Gamma(E)\to \Gamma(F)$, 其象征 $\sigma(D)$ 对每个余切向量 $w\in T_p^*M$ 指定线性映射
$$
\sigma(D)(w)\colon E_p\to F_p.
$$
换言之, $\sigma(D)$ 可视为 $\pi^*\operatorname{Hom}(E,F)$ 的截面, 其中 $\pi\colon T^*M\to M$ 为投影. 这里定义的象征又称主象征 (principal symbol), 因为它只与微分算子中的最高阶导数有关.
定义
设 $g$ 是一点 $p$ 附近的函数, 满足 $g(p)=0$, $d_pg=w$. 设 $f$ 是向量丛 $E$ 的截面, $f(p)=v$. 设 $D$ 为 $d$ 阶微分算子, 定义
$$
\sigma(D)(w)(v)=\frac{1}{d!}D(g^d f)_P.
$$
我们需要验证上式右端与 $f,g$ 的选取无关. 设 $D$ 的局部坐标表示为
$$
D=\sum_{|\alpha|\leq d} A_\alpha\partial^\alpha,
$$
由 Leibniz 法则, 对任意多重指标 $\alpha$, 若 $|\alpha|<d$, 在 $\partial^\alpha(g^df)$ 的展开式中每一项都含有 $g$, 因此在 $P$ 处消失. 若 $|\alpha|=d$, 则只有 $\partial^\alpha(g^d)f$ 留下, 而继续展开, 又只有
$$
\frac{1}{d!}\left( \prod_{i=1}^n \partial_i^{\alpha_i}g\right) f
$$
这一项留下. 那么
$$
\sigma(D)(w)(v)=\frac{1}{d!}D(g^d f)_P=\sum_{|\alpha|=d}A_\alpha(v) w^\alpha.
$$
定义 2
在微分算子的代数上, 根据阶数有自然的滤过结构. 记 $\mathscr{D}_k(E)$ 为 $E$ 到自身不超过 $k$ 阶算子的空间, 考虑关联分次代数
$$
\operatorname{gr}\mathscr{D}(E)=\bigoplus_{k} \mathscr{D}_k(E) \big/ \mathscr{D}_{k-1}(E).
$$
那么这个分次代数与 $S(TM)\otimes\operatorname{End}(E)$ 的截面 (也即 $\pi^*\operatorname{End}(E)$ 的截面, 且沿 $T^*M$ 的纤维是多项式) 之间存在自然的同构
$$
\sigma_k\colon \operatorname{gr}_k\mathscr D (E)\to \Gamma(S^kTM\otimes \operatorname{End}(E)),
$$
其中 $\sigma_k$ 的定义如下. 对于 $x\in M, \xi\in T^*_xM$, 任取函数 $f$ 使得 $d_xf=\xi$, 定义
$$
\sigma_k(D)(\xi) =\lim_{t\to \infty}t^{-k} (e^{-itf}\cdot D \cdot e^{itf})(x)\in \operatorname{End}E_x.
$$
上式应当作如下理解: 微分算子 $t^{-k}(e^{-itf}\cdot D\cdot e^{itf})$ 当 $t\to\infty$ 的极限 (实际上就是关于 $t$ 的一个 $k$ 次多项式 $e^{-itf}\cdot D\cdot e^{itf}$ 中 $t^k$ 的系数) 是一个 $0$ 阶微分算子, 也即 $\operatorname{End}E$ 的截面.
由定义, 也有
$$
\sigma_k(D)(\xi)=\frac{(-i)^k}{k!} (\operatorname{ad}f)^kD.
$$
注. 象征的不同定义之间可能相差一个变换 $\xi \mapsto i\xi$.
性质
设 $D_1\colon \Gamma(E)\to \Gamma(F)$, $D_2\colon \Gamma(F)\to\Gamma(G)$, 则对 $w\in T^*M$,
$$
\sigma(D_2D_1)(w)=\sigma(D_2)(w)\,\sigma(D_1)(w).
$$
例子
丛的映射 $\alpha \colon E\to F$ 可视为零阶微分算子, 其象征为
$$
\sigma(\alpha)(w)=\alpha_p,\, w\in T^*_pM.
$$
$\wedge^\bullet T^*M$ 到自身的外微分算子 $d$ 的象征为
$$
\sigma(d)(w)\mu=w\wedge \mu.
$$
$TM$ 上的联络是一个算子 $\nabla\colon TM\to \operatorname{End}(TM)$. 其象征为
$$
\sigma(\nabla)(w)X=\omega\otimes X.
$$
Laplace 算子的象征为
$$
\sigma(\triangle)(w)=\|w\|^2.
$$
无穷小对象
象征可看作与 $D$ 相关的无穷小对象.