记号
设 $E$ 为全纯向量丛. $\mathcal A^{p,q}(E)$ 表示取值于 $E$ 的光滑复 $(p,q)$-微分形式的丛 (层), 也即 $E\otimes \wedge^{p,q}M$ (的截面芽的层), $\mathcal A^n(E)=\sum_{p+q=n}\mathcal A^{p,q}(E)$ 表示取值于 $E$ 的光滑 $n$-形式丛(层).
$\Omega^{p,q}(E):= \Gamma(E\otimes \wedge^{p,q}M)$ 是 $\mathcal A^{p,q}(E)$ 的整体截面的空间, 即 $M$ 上 $E$-取值的全局光滑 $(p,q)$-形式的空间. Dolbeault 上同调定义为
$$
H^{p,\bullet}_{\bar\partial} (M,E):= H^\bullet(\Omega^{p,\bullet}(E)).
$$
注意, 与 $\Omega^{p,q}(E)$ 不同的是, $\Omega^p(E)$ 表示取值于 $E$ 的全纯 $p$-形式丛(层).
与 de Rham 上同调的类比
Dolbeault 上同调是 de Rham 上同调在复流形上的类比.
对于光滑流形有 de Rham 层复形 ($\mathbb R$ 的消解)
$$
0\to\mathbb R \to \mathcal{A}^0\to \mathcal{A}^1\to \cdots.
$$
由 Poincaré 引理, 此序列正合. de Rham 定理是说
$$
H_{\mathrm{dR}}^\bullet (M)\simeq H^\bullet(M,\mathbb R).
$$
类似地, 对于复流形有层复形 ($\Omega^p$ 的消解)
$$
0\to \Omega^p \to \mathcal{A}^{p,0}\to \mathcal{A}^{p,1} \to\cdots,
$$
注意此处 $\Omega^p$ 是全纯 $p$-形式层, $\mathcal A^{p,q}$ 是光滑 $(p,q)$-形式层. 由 $\bar{\partial}$-Poincaré 引理, 此序列正合. Dolbeault 定理是说 Dolbeault 上同调同构于层上同调
$$
H^{p,\bullet}_{\bar{\partial}}(M) \simeq H^\bullet (M, \Omega^p).
$$
向量丛的 Dolbeault 上同调
Dolbeault 算子
定义. 复向量丛 $E\to M$ 上的 Dolbeault 算子是一个微分算子 $\bar\partial\colon \Gamma(E) \to \Omega^{0,1}(M)\otimes \Gamma(E)$, 满足
- ${\bar\partial}^2 =0$ (Cauchy–Riemann 方程, 也称可积性条件);
- (Leibniz 法则) $\bar\partial (fs) = (\bar\partial f)\otimes s + f(\bar\partial s)$.
定理. 给定复向量丛 $E$ 上的 Dolbeault 算子 $\bar\partial$, 存在唯一的全纯向量丛结构对应于 $\bar\partial$.
这说明 Dolbeault 算子只能在全纯向量丛上定义.
消解与 Dolbeault 上同调
全纯向量丛 $E$ (的结构层) 有无圈消解
$$
0\to \Omega^p(E) \to \mathcal A^{p,0}(E) \to \mathcal A^{p,1}(E)\to\cdots,
$$
这给出 Dolbeault 定理
$$
H^{p,\bullet}(M,E) \simeq H^\bullet(M, \Omega^p \otimes E).
$$
全纯向量丛 $E$ 上的 Dolbeault 算子 $\bar{\partial}_E\colon \Gamma(E)\to \mathcal A^{0,1}(E)$, 又称 $(0,1)$-联络, 类似于普通的联络, 可延拓为
$$
\bar{\partial}_E\colon \mathcal A^{p,\bullet}(E) \to \mathcal A^{p,\bullet+1}(E),
$$
满足 $\bar{\partial}_E^2=0$, 且对于 $\alpha\in\Omega^{p,q}(M)$ 与 $s\in\Gamma(E)$,
$$
\bar{\partial}_E (\alpha\otimes s) = (\bar{\partial}_E\alpha)\otimes s + (-1)^{p+q} \alpha\wedge \bar{\partial}_E s.
$$
与自旋结构的联系
见 Dolbeault–Dirac 算子.