观念
线性微分算子是由求导生成的结合代数的元素, 是仅依赖于函数的有限阶射流的算子.
另见拟微分算子.
定义
由局部坐标定义
对于流形上两个向量丛 $E,F\to M$, 线性微分算子 $D\colon\Gamma(E)\to \Gamma(F)$ 是线性映射, 局部上由下式给出:
$$
D=\sum_\alpha A_\alpha \partial^\alpha,
$$
其中 $A_\alpha$ 是流形上的矩阵值函数.
由交换子归纳定义
对于 $f\in C^\infty(M)$ 与映射 $D\colon \Gamma(E)\to \Gamma(F)$, 定义交换子 $[D,f]\colon \Gamma(E)\to\Gamma(F)$, $s\mapsto D(fs)-f(Ds)$.
定义 $0$ 阶算子 $D$ 为与任意函数 $f$ 的交换子都为 $0$ 的算子, 这等价于 $D$ 是向量丛的态射.
归纳地定义 $n$ 阶算子: 若算子 $D$ 与任意函数的交换子都不超过 $(n-1)$ 阶, 则称算子 $D$ 的阶不超过 $n$. 换言之, 算子 $D$ 的阶 $n$ 是满足如下条件的最大整数: $D$ 依次与任意 $n$ 个函数作交换子, 结果都是向量丛的态射.
由生成元定义
向量丛 $E$ 到自身的微分算子的代数也可定义为由 $\operatorname{End}(E)$ 的截面 (即 $0$ 阶微分算子) 与 $E$ 上所有的协变导数 $\nabla_X$ ($X$ 是向量场) 所共同生成的代数. 这样, 这个代数上就有自然的滤过结构 (但不是分次结构).