范畴谱 [范畴谱]
范畴谱 [范畴谱]
观念
定义
记 $n\mathsf{Cat}$ 为 $(\infty,n)$-范畴的范畴. 记 $\infty\mathsf{Cat} = \operatorname{lim}_n n\mathsf{Cat}$ 为 $(\infty,\infty)$-范畴的范畴.
对于带基点 $(\infty,\infty)$-范畴 $\mathcal C\in \infty \mathsf{Cat}_*$ 记 $\Omega\mathcal C := \operatorname{End}_{\mathcal C}(*)\in \infty \mathsf{Cat}_*$.
定义范畴谱 (categorical spectra) 的范畴 $\mathsf{CatSp}$ 为对 $\Omega\colon \infty\mathsf{Cat}_*\to \infty\mathsf{Cat}_*$ 形式取逆得到的 $(\infty,1)$-范畴: $$ \mathsf{CatSp}:= \operatorname{lim} (\cdots\overset{\Omega}{\to}\infty \mathsf{Cat}_*\overset{\Omega}{\to}\infty \mathsf{Cat}_*). $$ 换言之, 一个范畴谱是一列 $(\infty,\infty)$-范畴 $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ 带有等价 $$ X_n \simeq \Omega X_{n+1}. $$
性质
与谱的关系
命题. $\mathsf{Sp}\subset\mathsf{CatSp}$ 是全子范畴.
纬悬
由形式取逆的抽象性质, $\Omega\colon \mathsf{CatSp}\to\mathsf{CatSp}$ 为等价, 且其逆 $\Sigma\colon \mathsf{CatSp}\to\mathsf{CatSp}$ 可由左伴随 $\Sigma\colon \infty \mathsf{Cat}_* \to \infty \mathsf{Cat}_*$ 在 $\mathsf{Pr}^{\mathrm{L}}$ 中取余极限得到.
容易看到, 谱的范畴 $\mathsf{Sp}\subset\mathsf{CatSp}$ 上的环路函子 $\Omega$ 与 $\mathsf{CatSp}$ 上的函子 $\Omega$ 相容.
纬悬谱
记 $\mathsf{CatSp}$ 到第 $n$ 分量的投影为 $\Omega^{\infty -n}\colon \mathsf{CatSp} \to \infty \mathsf{Cat}_*$.
记 $\Omega^{\infty-n} \colon \mathsf{CatSp}\to\infty \mathsf{Cat}_*$ 的左伴随为 $\Sigma^{\infty-n} \colon \infty \mathsf{Cat}_*\to\mathsf{CatSp}$.
称形如 $\Sigma^{\infty }X$ 的范畴谱为纬悬谱. 当然, 这个名称与生象的纬悬谱 $\Sigma^\infty \colon \mathsf{Ani}_* \to \mathsf{Sp}$ 也是相容的.
连合谱与交换代数
由定义以及逆环假设, $\mathsf{CatSp}$ 又可理解为如下极限: $$ \mathsf{CatSp} =\operatorname{lim} (\cdots\overset{\Omega}{\to}\mathsf{CAlg}(\infty \mathsf{Cat})\overset{\Omega}{\to}\mathsf{CAlg}(\infty \mathsf{Cat})). $$
记 $\Omega^{\infty-n} \colon \mathsf{CatSp}\to\mathsf{CAlg}(\infty \mathsf{Cat})$ 的左伴随为 $\mathbf{B}^{\infty-n} \colon \mathsf{CAlg}(\infty \mathsf{Cat})\to\mathsf{CatSp}$.
称形如 $\mathbf{B}^{\infty }X_0$ 的范畴谱为连合 (connective) 范畴谱; 记连合范畴谱构成的全子范畴为 $$ \mathsf{CatSp}_{\geq 0}\subset\mathsf{CatSp}. $$
设 $X_0\in \mathsf{CAlg}(\infty \mathsf{Cat})$ 为对称幺半 $(\infty ,\infty )$-范畴. 则范畴谱 $\mathbf{B}^{\infty}X$ 的分量为 $$ \mathbf{B}^{\infty}X := (X_n = \mathbf{B}^n X_0). $$