自由–遗忘伴随形容的是如下的现象: 两种数学结构 $A,B$ 的语法之间有一态射 $A \to B$, 使得 $B$-结构总是可以 “遗忘” 为 $A$-结构 (称之为遗忘是因为常常 $A$-结构是比较简单的结构, 甚至是没有结构; 但理论上不一定如此); 进一步, 遗忘函子有一左伴随, 称之为自由函子, 常常可以通过左 Kan 扩张构造. 这一现象发生在许多场合:
这些场合是相互关联的, 例如结合代数 $A$ 给出单子 $-\otimes A$, 其上的模即是该单子的代数. 算畴和代数理论也给出单子. 若一对伴随能够表示为某个单子的自由–遗忘伴随, 则称之为单子性伴随 (monadic adjunction).
性质
结合代数
当某种集合或范畴上的结构的遗忘函子 $U\colon \mathcal C \to \mathsf{Set}$ (或 $U\colon \mathcal C\to\mathsf{Cat}$) 余可表时,
它的余表示对象就是由一个元素 (或一个对象) 生成的自由结构 $F(1)$:
$$
U=\operatorname{Hom}_{\mathsf{Set}}(1,U-)=\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(F(1),-).
$$
且此时 $F(1)$ 的底层集合 (或范畴) 具有结合代数的结构. 这是米田引理的简单应用:
$$
U(F(1)) = \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(F(1),F(1)) = \operatorname{End}_{\mathsf{Fun}(\mathcal C,\mathsf{Set})}(U).
$$
例.
- 一个元素自由生成的幺半群 $(\mathbb{N},+)$ 是遗忘函子 $U\colon \mathsf{Mon}\to\mathsf{Set}$ 的余表示对象, $U(\mathbb{N})=\operatorname{Hom}_{\mathsf{Mon}}(\mathbb{N},\mathbb{N})=\operatorname{End}(U)\simeq (\mathbb{N},\times)$.
- 一个元素自由生成的交换环 $\mathbb{Z}[x]$ 是遗忘函子 $U\colon \mathsf{Ring} \to \mathsf{Set}$ 的余表示对象, $U(\mathbb{Z}[x]) = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ring}}(\mathbb{Z}[x],\mathbb{Z}[x]) = \operatorname{End}(U)\simeq (\mathbb{Z}[x],\circ)$.
- 更一般地, 给定交换环 $A$, 一个元素自由生成的 $A$-代数 $A[x]$ 是遗忘函子 $U\colon \mathsf{Alg}_A \to \mathsf{Set}$ 的余表示对象, $U(A[x]) = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Alg}_A}(A[x],A[x]) = \operatorname{End}(U)$.
- 对于对称幺半范畴 $\mathcal C$, 一个对象自由生成的 $\mathcal C$-充实对称幺半范畴是对称序列的范畴, 其上有一个幺半结构, 对应于自函子的复合. 详见对称序列.
- 一个对象自由生成的半加性 $(1,1)$-范畴是 $\operatorname{h}\mathsf{Span}(\mathsf{Fin})$ (也即 $\mathsf{Fin}$ 的关系范畴的同伦范畴),