观念
模空间 (moduli space) 是 “参数化” 或 “分类” 一类对象的空间. 模空间的每一个点是一个对象, 模空间上的一条曲线为这种对象的单参数族, 等等.
本页面介绍代数几何中的模空间, 通常要参数化或分类的对象也是某种几何对象. 更一般的观念见分类空间.
在代数几何中, 基底空间 $S$ 上的一族几何对象通常用平坦态射 $X\to S$ 描述, 其纤维为我们关心的某一类空间.
在代数几何中, 一个模问题 (moduli problem) 一般是一个函子
$$
\mathcal M\colon \mathsf {Sch}^{\text{op}}\to \mathsf {Set},
$$
其中 $\mathcal M(S)$ 是 “以 $S$ 参数化的一族对象” 的集合. 从米田引理的观点, $S$ 参数化的一族对象相当于 $S$ 到 $\mathcal M$ 的一个态射. 函子 $\mathcal M$ 不总是可表的. 当它可表时, 其表示对象称为细模空间.
细模空间是带有万有族的空间 (概形) $M$, 使得任意概形 $S$ 上的一族某种对象都是由唯一的一个映射 $S\to M$ 将 $M$ 上的万有族拉回得到. 于是我们有双射
$$
\{S\text{ 上的对象族}\} \leftrightarrow \{S\to M\}
$$
万有族总是带有某种重言 (tautology) 的特性, 即万有族在 $M$ 的某点上的纤维正是这个点对应的对象.
一般而言, 对于有非平凡自同构的对象, 细模空间不存在. 这个问题一般的解决方法有:
- 增加结构, 使得自同构消失;
- 考虑模叠 (如轨形).
例
带标记点的 Riemann 面的模空间
我们讨论 $\mathbb P^1$ 上的四点组的射影等价 (projective equivalence). 所谓射影等价是指 $\mathbb P^1$ 的自同构 (分式线性变换). 四点组是指 $\mathbb P^1=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ 上互不相同的四个点. 两个四点组等价当且仅当它们有相同的交比 (cross ratio). 四点组 $(0,1,\infty,z)$ 的交比是 $z$. 因此, 所考虑的模空间是
$$
\mathcal M_{0,4}= \mathbb P^1 \setminus \{0,1,\infty\}.
$$
例如带 $n$ 个标记点的 $g$ 亏格 Riemann 面的模空间 $\mathcal M_{g,n}$.
主丛 (向量丛) 的模空间
设 $k$ 为域, $G$ 为 $k$ 上的约化代数群. $k$-概形 $X$ 上 $G$-主丛的模空间是函子 $\mathrm {Bun}_G \colon \mathsf {Sch}_k \to\mathsf {Grpd}$, 它将 $k$-概形 $S$ 映射到 $X\times S$ 上 $G$-主丛的群胚.
在 $G=\mathrm {GL}_n$ 的情形, $G$-主丛等同于 $n$ 阶向量丛, $\mathrm {Bun}_G$ 等价于 $X$ 上 $n$ 阶向量丛的模空间 $\mathrm {Bun}_n$.
旗流形
旗流形是 Borel 子群的模空间.