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百科. Hecke 代数 [Hecke代数]

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观念

Hecke 代数是多处出现的一些不同概念, 但总体上是某些双陪集空间上的函数在卷积下构成的代数.

定义

反向链接

百科. Hecke 范畴 [Hecke范畴]

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观念

对于约化群 $G$ 的 Borel 子群 $B$, Hecke 范畴大致是 “双商叠” $$ B \backslash G / B = \mathbf{B}B\times_{\mathbf{B}G} \mathbf{B}B $$ 上的层范畴 $$ \mathcal H = \mathsf{Sh}(B \backslash G / B). $$ 其中 $\mathsf{Sh}$ 是某个层理论, 例如 D-模. 因此 Hecke 范畴是 Hecke 代数的范畴化.

更一般地 (参考 Ben-Zvi–Nadler), 对叠的映射 $f\colon X\to Y$, 可定义 Hecke 范畴 $$ \mathcal H = \mathsf{Sh}(X\times_Y X), $$ 由 $X\times_Y X\times_Y X$ 到 $X\times_Y X$ 的三个投影映射的推前-拉回可定义 $\mathcal H$ 上的一种卷积.

性质

卷积

百科. 几何 Langlands 对应 [几何Langlands对应]

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陈述

经典对应

几何 Langlands 对应是经典 Langlands 对应的函数域类比, 以及其在复代数曲线 (Riemann 面) 上的进一步类比.

todo: 重写

Galois 表示理解为 $\ell$-进层.

非分歧自守表示给出 $\mathrm{GL}_n(F) \backslash \mathrm{GL}_n(\mathbb A) / \mathrm{GL}_n(\mathcal O)$ 上的函数 $f_\pi$ (差一个常数), 它是 Hecke 代数 $\mathcal H_x, x\in X$ 的特征函数. 使用 Grothendieck 函数–层字典, 该函数对应于 $X$ 上的 $G$-丛模空间上的 Hecke 特征层.

范畴层面的对应

“范畴式” (categorical) 几何 Langlands 对应的主旨是两个 DG 范畴的比较:

几何 (“自守”) 侧, 即 $X$ 上 $G$-丛的模空间上的 D-模;
谱 (“Galois”) 侧, 即 $X$ 上 $\check G$-局部系统的叠上的拟凝聚层.

物理视角: Kapustin–Witten

2006 年, Kapustin 与 Witten 指出 4D 超对称规范场论的 S 对偶能够推出几何 Langlands 对应.

对于 Langlands 对偶群 $G,G^L$, 分别考虑代数曲线 $X$ 上对应的 Higgs 丛的 Hitchin 模叠, 人们认识到几何 Langlands 纲领与该几何对象的同调镜像对称有关.

相关概念

量子几何 Langlands 纲领