百科. 几何 Langlands 对应 [几何Langlands对应]

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陈述

经典对应

几何 Langlands 对应是经典 Langlands 对应的函数域类比, 以及其在复代数曲线 (Riemann 面) 上的进一步类比.

todo: 重写

非分歧自守表示给出 $\mathrm{GL}_n(F) \backslash \mathrm{GL}_n(\mathbb A) / \mathrm{GL}_n(\mathcal O)$ 上的函数 $f_\pi$ (差一个常数), 它是 Hecke 代数 $\mathcal H_x, x\in X$ 的特征函数. 使用 Grothendieck 函数–层字典, 该函数对应于 $X$ 上的 $G$-丛模空间上的 Hecke 特征层.

范畴层面的对应

“范畴式” (categorical) 几何 Langlands 对应的主旨是两个 DG 范畴的比较:

几何 (“自守”) 侧, 即 $X$ 上 $G$-丛的模空间上的 D-模;
谱 (“Galois”) 侧, 即 $X$ 上 $\check G$-局部系统的叠上的拟凝聚层.

物理视角: Kapustin–Witten

2006 年, Kapustin 与 Witten 指出 4D 超对称规范场论的 S 对偶能够推出几何 Langlands 对应.

对于 Langlands 对偶群 $G,G^L$, 分别考虑代数曲线 $X$ 上对应的 Higgs 丛的 Hitchin 模叠, 人们认识到几何 Langlands 纲领与该几何对象的同调镜像对称有关.

参考资料

参考资料. Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program [KapustinWittenGL]

Anton Kapustin, Edward Witten

hep-th/0604151

@misc{kapustin2007electricmagneticdualitygeometriclanglands,
      title={Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program}, 
      author={Anton Kapustin and Edward Witten},
      year={2007},
      eprint={hep-th/0604151},
      archivePrefix={arXiv},
      primaryClass={hep-th},
      url={https://arxiv.org/abs/hep-th/0604151}, 
}

反向链接

百科. 经典 Langlands 对应 [Langlands对应]

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Langlands 纲领源于数论. 本页介绍数域上的 Langlands 对应. 另见几何 Langlands 对应.

Frenkel, Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory

故事从 Euler 开始. Euler 用不严格的方法算出了自然数的 $s$ 次方的倒数和 ($s\geq 2$ 为自然数), 这个数后来叫做 Riemann ζ-函数 $\zeta(s)$. 除此之外, Euler 还指出 $\zeta(s)$ 可写成所谓 “Euler 因子” $1/(1-p^{-s})$ 对素数 $p$ 的乘积, 由此可以推出素数分布的一些信息. Riemann 发现 $\zeta(s)$ 是全纯函数, 从而自然地寻求其解析延拓. 这件事可以用 Euler 的乘积公式以及 $\zeta(s)$ 满足的函数方程 $$ \Lambda(1-s)=\Lambda(s),\ \Lambda(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) $$ 来做到. (奇妙的是, Euler 使用他的发散级数发现了 $\zeta(s)$ 的函数方程.) 这个函数方程中的 $\Gamma$ 项直到 Tate 才获得完全的理解: 它是 $\mathbb{Q}$ 的 Archimedes 位的 Euler 因子.

后来, Riemann 建立了一个显式的公式, 将素数和 $\zeta$ 函数的零点关联起来. 由此他猜想 $\zeta$ 的零点的实部为 $1/2$, 这相当于素数分布的一个极好的性质.

Dirichlet 在研究模 $q$ 余 $a$ 素数的分布时用到了所谓 Dirichlet L-函数. 他的方法可理解为 $\mathbb{Z}/q$ 上的调和分析. 设 $\chi\colon (\mathbb{Z}/q)^\times \to\mathbb{C}^\times$ 为 Dirichlet 特征, 定义 $$ L(\chi,s)=\sum_{n}\chi(n)n^{-s} = \prod_p 1/(1-\chi(p)p^{-s}). $$

一维

数论中一个重要的问题是绝对 Galois 群. 对于有理数域, 我们不能很好地描述其绝对 Galois 群 $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$, 但可以描述它的极大 Abel 商. 这对应于有理数域的极大 Abel 扩张 $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}}$, 它是 $\mathbb{Q}$ 添加所有单位根所得的扩张. $$ \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}}/\mathbb{Q}) \simeq \widehat {\mathbb{Z}}^\times \simeq \prod_{p}\mathbb Z_p^\times. $$ Abel 类域论的结论是 $\operatorname{Gal}(F^{\mathrm{ab}}/F)$ 等同于 $F^{\times}\backslash \mathbb A_F^\times$ 的连通分支的群. 在 $F=\mathbb{Q}$ 的情形它是 $$ \mathbb{Q}^{\times}\backslash \mathbb A_{\mathbb{Q}}^\times\simeq \prod_p \mathbb{Z}_p^\times \times \mathbb{R}_{>0}. $$

$n$ 维

$\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$ 的 $n$ 维表示 - $\mathrm{GL}_n(\mathbb A_F)$ 的自守表示

百科. Langlands 纲领 [Langlands纲领]

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观念

Langlands 纲领是调和分析 (Fourier 变换) 的 “非 Abel” 类比.


椭圆曲线	←	Ramanujan	→	自守形式
↓				↓
$\operatorname{Gal}(\overline{F}/F) \to {^LG}$, Frobenius	←	原始 Langlands 对应	→	$\mathbb G(\mathbb A_F)$ 的自守表示, Hecke
↓				↓
曲线上的平坦 ${^LG}$-丛	←	几何 Langlands 对应	→	主丛的模空间 $\mathrm {Bun}_G$ 上的 Hecke 特征层
↓				↓
$\mathrm {Loc}_{^LG}$ 上的导出范畴	←	范畴 Langlands 对应	→	$\mathrm {Bun}_G$ 上的 D-模导出范畴

百科. “l-进层” [l-进层]

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定义代数簇上的 $\mathbb{Z}_\ell$-层为平展景上的一系列局部常值 (或关于某个分层结构为可构造的) $\mathbb{Z}/\ell^m$-层. 消灭其中的挠层 (torsion sheaf), 就得到所谓 $\mathbb{Q}_{\ell}$-层.

类似地可以对 $\mathbb{Q}_{\ell}$ 的有限扩张 $E$ 定义 $E$-层.

最后, 取所有 $E$-层的范畴的 (有向) 余极限. 这个范畴中的对象称为 $\ell$-进局部系统 ($\ell$-adic local system).

所谓 Galois 表示可理解为 $\ell$-进局部系统.

百科. 佐武等价 [佐武等价]

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观念

佐武 (Satake) 等价是 Langlands 对偶群的一种 “实现”: 由 $G$ 构造的某个几何对象上的某种层范畴实现了其对偶群 $^LG$ 的表示范畴. 几何佐武等价是几何 Langlands 对应的基石.

陈述

几何佐武等价

几何 Satake 等价

偏屈层版本

仿射 Grassmann 空间 $\mathrm{Gr}_G$ 上的 $L^+G$-等变偏屈层的 Abel 范畴 $\mathsf{Perv}_{L^+G}(\mathrm{Gr}_G)$ 是等变导出范畴上某个偏屈 t-结构的心, 且继承了导出范畴上的卷积, 构成幺半范畴. 几何佐武等价指出这个幺半范畴等价于 Langlands 对偶群 $G^\vee$ 的表示范畴, $$ \mathsf{Perv}_{L^+G}(\mathrm{Gr}_G) \simeq \mathsf{Rep}(G^\vee). $$

D-模版本

百科. 函数域类比 [函数域类比]

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数域 (“F1 上曲线的函数域”)	$\mathbb F_q$ 上曲线的函数域	复曲线
$\mathbb{Z}$	多项式环 $\mathbb F_q[z]$	复平面上的全纯函数 $\mathcal O$
$\mathbb{Q}$	分式域 $\mathbb F_q(z)$	复平面上的亚纯函数
素数 $p$	$x\in\mathbb F_p$	$x\in\mathbb{C}$
$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$	$\operatorname{Spec}\mathbb F_q[z]\simeq\mathbb A^1_{\mathbb F_q}$	复平面 $\mathbb{C}$
$\operatorname{Spec}\mathbb{Z} \cup \infty$	$\mathbb P^1_{\mathbb F_q}$	Riemann 球面 $\mathbb{C}P^1$
$\dfrac{(-)^p-(-)}{p}$	$\dfrac{\partial}{\partial z}$	$\dfrac{\partial}{\partial z}$
$\mathbb{Z}/p^n$	$\mathbb F_q[z]/(z-x)^n$	$\mathbb{C}[z]/(z-x)^n$
$p$-进整数 $\mathbb{Z}_p$	形式幂级数 $\mathbb F_q[[z-x]]$	$\mathbb{C}[[z-x]]$
$p$-进数 $\mathbb{Q}_p$	Laurent 级数 $\mathbb F_q((z-x))$	去心邻域上的全纯函数 $\mathbb{C}((z-x))$
Adèle $\mathbb A_{\mathbb{Q}}$	$\mathbb A_{\mathbb F_q}$	$\prod'_{x\in\mathbb{C}}\mathbb{C}((z-x))$
Idèle $\mathbb I_{\mathbb{Q}}$	$\mathbb I_{\mathbb F_q}$	$\prod'_{x\in\mathbb{C}}\mathrm {GL}_1\mathbb{C}((z-x))$
Riemann ζ-函数	Goss ζ-函数
数域 $K$	代数曲线上的函数域 $K$	Riemann 面 $\Sigma$ 上的有理函数层 $K_\Sigma$
整数环 $\mathcal O_K$		结构层 $\mathcal O_\Sigma$
带有 Archimedes 位的谱 $\operatorname{Spec}_{\text{an}}(\mathcal O_K) \to \operatorname{Spec}\mathbb{Z}$	算术曲线 $\Sigma$	Riemann 面作为 Riemann 球面的分歧覆叠 $\Sigma \to \mathbb{C}P^1$
Frobenius 的提升 (λ-环结构)	$\dfrac{\partial}{\partial z}$	$\dfrac{\partial}{\partial z}$
数域的亏格	代数曲线的亏格	Riemann 面的亏格
素理想 $v\in\mathcal O_K$	$x\in\Sigma$	$x\in\Sigma$
Adèle $\mathbb A_{\mathbb{K}}$		$\prod'_{x\in\Sigma}\mathbb{C}((z_x))$
Idèle $\mathbb I_{K}$		$\prod'_{x\in\Sigma}\mathrm {GL}_1\mathbb{C}((z_x))$
Galois 群		基本群
Galois 表示		局部系统
$\mathrm {GL}_1(K)\backslash \mathrm {GL}_1(\mathbb A_K) / \mathrm {GL}_1(\mathcal O)$	$\mathrm {GL}_1(K)\backslash \mathrm {GL}_1(\mathbb A_K) / \mathrm {GL}_1(\mathcal O)$	线丛的模叠 $\mathrm {Bun}_{\mathrm {GL}_1}(\Sigma)$
数域 Langlands 对应		几何 Langlands 对应
Dedekind ζ-函数	Weil ζ-函数	Riemann 面 (Laplace 算子) 的 ζ-函数

Weil 罗塞塔石碑

百科. 局部系统 [局部系统]

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观念

局部系统是空间上局部平凡的 “(上同调) 系数的系统”, 等同于底空间的基本群胚出发的函子, 即基本群的表示. 有时基本群甚至是通过这一原则反向构造出来的; 见淡中对偶.

定义

生象上

生象 $A$ 上的局部系统就是 $A$ (视为 $\infty$-范畴) 出发的函子. 其它一些种类的几何对象上的局部系统有时可化为其对应的生象上的局部系统.

拓扑空间上

拓扑空间 $X$ 上的局部系统 (local system), 又称局部常值层 $\mathcal L$ 是满足如下条件的层: 每个点 $x$ 都有一个邻域 $U$ 使得 $\mathcal L|_U$ 是常值层.

命题. 对于道路连通空间, 局部常值的每个点上的茎都同构于 $L$. 此时局部系统一一对应于同态 $$ \rho\colon \pi_1(X)\to \operatorname{Aut}L, $$ 称为单值表示 (monodromy representation).

证明. 首先, $[0,1]$ 上的局部系统都是常值层, 所以 $X$ 上的环路给出 $L$ 的自同构, 这定义了同态 $\rho\colon \pi_1(X)\to\operatorname{Aut}L$.

反之, 给定 $\rho$, 考虑万有覆叠 $\widetilde X$ 上的常值层 $\underline{L}$, 其中叠变换 (deck transform) 下与 $\rho$ 等变的截面给出 $X$ 上的局部系统 $\mathcal L(\rho)$, $$ \mathcal L(\rho)(U) =\left\{s\in \underline{L}(\pi^{-1}(U)): \theta \circ s = \rho(\theta) s \forall \theta\in \operatorname{Deck}(\widetilde X / X)\right\}. $$ 其中 $\operatorname{Deck}(\widetilde X/X)\simeq\pi_1(X)$.

由此亦可见, 局部常值等价于拉回到万有覆盖上是常值层.

意象的对象上

考虑 “生象的生象” $\mathrm{Ani}\in \mathsf{Ani}$ (忽略宇宙问题, 或者引入不同宇宙层级). 这在一个 $\infty$-意象 $\mathcal C$ 中给出 “常值层”对象 $\mathrm{Ani}\in\mathcal C$. 此时对于对象 $X\in\mathcal C$, 定义 $X$ 上的局部系统为映射 $$ X \to \mathrm{Ani}. $$ “带基点生象的生象” $\mathrm{Ani}_*$ 到 $\mathrm{Ani}$ 有一投影 $\mathrm{Ani}_* \to \mathrm{Ani}$, 而映射 $X\to \mathrm{Ani}$ 也即等同于 “$X$ 上的一族生象”, 即如下的拉回. $$ \begin{array}{ccc} Y & \rightarrow & \mathrm{Ani}_* \\ \downarrow & & \downarrow \\ X & \rightarrow & \mathrm{Ani} \end{array} $$

todo: 基本群胚

群的局部系

在某些场合 (如几何 Langlands 对应)中, 我们对固定的群 $G$ 谈论 $G$-局部系统.

例

设 $V$ 为光滑流形 $X$ 上的向量丛, 配有可积联络 $$ \nabla\colon V\to V\otimes \Omega_X, $$ 则 $V$ 的平坦截面构成局部系统.

进一步, $X$ 上带平坦联络的向量丛的范畴等价于 $X$ 上向量空间局部系统的范畴, 这是 Riemann–Hilbert 对应的例子.

向量丛的联络有纯代数的版本. 然而, 由带平坦联络的向量丛到局部系统的对应在本质上是超越 (transcendental) 的: $X$ 上两点 $x$ 与 $y$ 之间的道路没有纯代数的对应概念.

反思流形上带联络的向量丛, 我们发现 (不严谨地说) 对于足够接近的两点 $x,y$, 有典范的同构 $V_x\simeq V_y$. 而对于代数簇, Grothendieck 的概形理论可以描述无穷接近的点.

百科. 特征向量 [特征向量]

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设结合代数 $A$ 作用于另一对象 $V$. 定义一个特征值为一个代数同态 $\sigma\colon A \to 1$. 定义对应于特征值 $\sigma$ 的特征向量为元素 $v \colon 1\to V$, 满足 $$ a(v) = \sigma(a)v\,(a\in A), $$ 也即下图交换 (记 $\rho\colon A\otimes V\to V$ 为 $A$ 在 $V$ 上的作用): $$ \begin{array}{ccc} A & \overset{\sigma}{\to} & 1\\ \!\!\!\!v\downarrow&&\downarrow v\!\!\!\!\\ A\otimes V&\underset{\rho}{\to} & V \end{array} $$

在高阶范畴的语境中也有类似概念, 只不过是将上述条件推广为单纯对象的同态 $$ \begin{array}{cccccc} \cdots & A\otimes A \otimes 1 & \rightrightarrows & A\otimes 1 & \overset{\sigma}{\to} & 1\\ &\downarrow &&\!\!\!\!v\downarrow&&\downarrow v\!\!\!\!\\ \cdots & A\otimes A\otimes V & \rightrightarrows&A\otimes V&\underset{\rho}{\to} & V. \end{array} $$ 或者用更简洁的表述, 对于 $\sigma$ 给出的 $A$ 在 $1$ 上的作用而言, $v \colon 1 \to V$ 是 $A$-线性映射.

例

线性变换

对于 $k$-线性空间 $V$ 上的线性变换 $T$, 有 $A = k[x]$ 在 $V$ 上的作用, 其中 $x$ 的作用为 $T$. 此时 $A$ 在 $V$ 上的作用的特征向量就是传统上说的线性变换 $T$ 的特征向量.

Hecke 作用

在几何 Langlands 对应中, $A = \operatorname{Rep}(\check{G})$ 作用在 $V= D(D\text{-}\mathsf{Mod}(\mathrm{Bun}_G))$ 上, 特征向量称为 Hecke 特征层.

陈述

经典对应

范畴层面的对应

物理视角: Kapustin–Witten

相关概念