Langlands 纲领源于数论. 本页介绍数域上的 Langlands 对应. 另见几何 Langlands 对应.
Frenkel, Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory
故事从 Euler 开始. Euler 用不严格的方法算出了自然数的 $s$ 次方的倒数和 ($s\geq 2$ 为自然数), 这个数后来叫做 Riemann ζ-函数 $\zeta(s)$. 除此之外, Euler 还指出 $\zeta(s)$ 可写成所谓 “Euler 因子” $1/(1-p^{-s})$ 对素数 $p$ 的乘积, 由此可以推出素数分布的一些信息. Riemann 发现 $\zeta(s)$ 是全纯函数, 从而自然地寻求其解析延拓. 这件事可以用 Euler 的乘积公式以及 $\zeta(s)$ 满足的函数方程
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\Lambda(1-s)=\Lambda(s),\ \Lambda(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)
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来做到. (奇妙的是, Euler 使用他的发散级数发现了 $\zeta(s)$ 的函数方程.) 这个函数方程中的 $\Gamma$ 项直到 Tate 才获得完全的理解: 它是 $\mathbb{Q}$ 的 Archimedes 位的 Euler 因子.
后来, Riemann 建立了一个显式的公式, 将素数和 $\zeta$ 函数的零点关联起来. 由此他猜想 $\zeta$ 的零点的实部为 $1/2$, 这相当于素数分布的一个极好的性质.
Dirichlet 在研究模 $q$ 余 $a$ 素数的分布时用到了所谓 Dirichlet L-函数. 他的方法可理解为 $\mathbb{Z}/q$ 上的调和分析. 设 $\chi\colon (\mathbb{Z}/q)^\times \to\mathbb{C}^\times$ 为 Dirichlet 特征, 定义
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L(\chi,s)=\sum_{n}\chi(n)n^{-s} = \prod_p 1/(1-\chi(p)p^{-s}).
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一维
数论中一个重要的问题是绝对 Galois 群. 对于有理数域, 我们不能很好地描述其绝对 Galois 群 $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$, 但可以描述它的极大 Abel 商. 这对应于有理数域的极大 Abel 扩张 $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}}$, 它是 $\mathbb{Q}$ 添加所有单位根所得的扩张.
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\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}}/\mathbb{Q}) \simeq \widehat {\mathbb{Z}}^\times \simeq \prod_{p}\mathbb Z_p^\times.
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Abel 类域论的结论是 $\operatorname{Gal}(F^{\mathrm{ab}}/F)$ 等同于 $F^{\times}\backslash \mathbb A_F^\times$ 的连通分支的群. 在 $F=\mathbb{Q}$ 的情形它是
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\mathbb{Q}^{\times}\backslash \mathbb A_{\mathbb{Q}}^\times\simeq \prod_p \mathbb{Z}_p^\times \times \mathbb{R}_{>0}.
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$n$ 维
- $\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$ 的 $n$ 维表示 - $\mathrm{GL}_n(\mathbb A_F)$ 的自守表示