百科. 经典 Langlands 对应 [Langlands对应]

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Langlands 纲领源于数论. 本页介绍数域上的 Langlands 对应. 另见几何 Langlands 对应.

Frenkel, Lectures on the Langlands Program and Conformal Field Theory

故事从 Euler 开始. Euler 用不严格的方法算出了自然数的 $s$ 次方的倒数和 ($s\geq 2$ 为自然数), 这个数后来叫做 Riemann ζ-函数 $\zeta(s)$. 除此之外, Euler 还指出 $\zeta(s)$ 可写成所谓 “Euler 因子” $1/(1-p^{-s})$ 对素数 $p$ 的乘积, 由此可以推出素数分布的一些信息. Riemann 发现 $\zeta(s)$ 是全纯函数, 从而自然地寻求其解析延拓. 这件事可以用 Euler 的乘积公式以及 $\zeta(s)$ 满足的函数方程 $$ \Lambda(1-s)=\Lambda(s),\ \Lambda(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) $$ 来做到. (奇妙的是, Euler 使用他的发散级数发现了 $\zeta(s)$ 的函数方程.) 这个函数方程中的 $\Gamma$ 项直到 Tate 才获得完全的理解: 它是 $\mathbb{Q}$ 的 Archimedes 位的 Euler 因子.

后来, Riemann 建立了一个显式的公式, 将素数和 $\zeta$ 函数的零点关联起来. 由此他猜想 $\zeta$ 的零点的实部为 $1/2$, 这相当于素数分布的一个极好的性质.

Dirichlet 在研究模 $q$ 余 $a$ 素数的分布时用到了所谓 Dirichlet L-函数. 他的方法可理解为 $\mathbb{Z}/q$ 上的调和分析. 设 $\chi\colon (\mathbb{Z}/q)^\times \to\mathbb{C}^\times$ 为 Dirichlet 特征, 定义 $$ L(\chi,s)=\sum_{n}\chi(n)n^{-s} = \prod_p 1/(1-\chi(p)p^{-s}). $$

一维

数论中一个重要的问题是绝对 Galois 群. 对于有理数域, 我们不能很好地描述其绝对 Galois 群 $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$, 但可以描述它的极大 Abel 商. 这对应于有理数域的极大 Abel 扩张 $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}}$, 它是 $\mathbb{Q}$ 添加所有单位根所得的扩张. $$ \operatorname{Gal}(\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}}/\mathbb{Q}) \simeq \widehat {\mathbb{Z}}^\times \simeq \prod_{p}\mathbb Z_p^\times. $$ Abel 类域论的结论是 $\operatorname{Gal}(F^{\mathrm{ab}}/F)$ 等同于 $F^{\times}\backslash \mathbb A_F^\times$ 的连通分支的群. 在 $F=\mathbb{Q}$ 的情形它是 $$ \mathbb{Q}^{\times}\backslash \mathbb A_{\mathbb{Q}}^\times\simeq \prod_p \mathbb{Z}_p^\times \times \mathbb{R}_{>0}. $$

$n$ 维

$\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$ 的 $n$ 维表示 - $\mathrm{GL}_n(\mathbb A_F)$ 的自守表示

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百科. Frobenius 态射 [Frobenius态射]

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定义

$\mathbb F_p$-代数的 Frobenius 映射

对于 $\mathbb F_p$-代数 (又叫 $p$ 特征环) $A$, 其 Frobenius 态射是 $A$ 的自同态 $\operatorname{Frob}_A \colon A \to A$, $a\mapsto a^p$.

对于 $\mathbb F_p$-代数同态 $A\to B$, 有交换图 $$ \begin{array} {ccc} A & \overset{\operatorname{Frob}_A}{\to} & A \\ \downarrow && \downarrow\\ B & \overset{\operatorname{Frob}_B}{\to} & B. \end{array} $$ 因此 Frobenius 态射是 $\mathbb F_p$-代数范畴 $\mathsf{Alg}_{\mathbb{F}_p}$ 上恒等函子的一个自同态: $$ \operatorname{Frob} \colon \mathrm{id}_{\mathsf{Alg}_{\mathbb{F}_p}} \to \mathrm{id}_{\mathsf{Alg}_{\mathbb{F}_p}}. $$

上述概念也可以推广到 $\mathbb F_q$-代数, $q=p^n$. 对于 $\mathbb F_q$-代数 $A$, Frobenius 态射是指 $a\mapsto a^q$. 它是 $A$ 作为 $\mathbb F_p$-代数的 Frobenius 态射的 $n$ 次迭代.

$\mathbb F_p$-概形的 Frobenius 映射

设 $S$ 为 $\mathbb F_p$-概形, 而 $X$ 为 $S$-概形.

定义 $X$ 的绝对 Frobenius 态射 $F^{\mathrm {ab}}\colon X\to X$ 为其结构层 $\mathcal O_X$ 上的 $p$ 次方映射 $\mathcal O_X\to\mathcal O_X$.

绝对 Frobenius 态射一般不是 $X$ 作为 $S$-概形的自同态, 因为如下交换图的底边不是恒等态射. $$ \begin{array} {ccc} X & \overset{F^{\mathrm ab}}{\to} & X\\ \downarrow && \downarrow\\ S&\overset{F^{\mathrm ab}}{\to} &S. \end{array} $$

一个特殊情形: 当 $S=\operatorname{Spec}\mathbb F_p$ 时, $F^{\mathrm {ab}}$ 是概形 $S$ 上的恒等态射, 故给出 $X$ 作为 $S$-概形的自同态.

在一般情形, 考虑 $X$ 沿 $F^{\mathrm{ab}}\colon S\to S$ 的基变换 $X^{(p)}=X\times_S S$, 我们就得到 $X$ 作为 $S$-概形的一个自同态, 称为相对 Frobenius 态射 $F^{\mathrm {rel}}\colon X\to X^{(p)}$.

函子式代数几何中的定义

这里所谓 $k$ 上的空间是指函子 $X\colon k\text{-}\mathsf {Alg}\to\mathsf {Set}$, 定义 $X^{(p)}=X\times_{\operatorname{Spec}_k,f_k}\operatorname{Spec}k$, 有 $$ X^{(p)}(A)\simeq X(A_f), $$ 即 $$ \operatorname{Hom}(\operatorname{Spec}A,X^{(p)})\simeq\operatorname{Hom}(\operatorname{Spec}A_f, X). $$

$X$ 的 Frobenius 态射 $X \to X^{(p)}$ 由映射 $X(A) \to X(A_f)\simeq X^{(p)}(A)$ 给出.

数域

数域 $F$ 的 Galois 群 $\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$ 与有限域的 Galois 群有些联系, 可以由此将 Frobenius 自同构转移到 $\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$ 上.

设 $K/F$ 是数域的扩张, $v$ 为非分歧素理想, 记 $v$ 分裂成的素理想之一为 $w$. 注意 $\mathcal O_F/v$ 为有限域, 而 $\mathcal O_K/w$ 是它的 $n$ 阶有限扩张, $\operatorname{Gal}(\mathcal O_K/w , \mathcal O_F/v)$ 是 Frobenius 态射生成的 $n$ 阶循环群. 进一步, 可给出 $\operatorname{Gal}(K,F)$ 中的一个 Frobenius 共轭类 $\mathrm{Fr}(v)$.

例. $F = \mathbb{Q}$, $K = \mathbb{Q}(\zeta_N)$, $\operatorname{Gal}(K/F)\simeq (\mathbb{Z}/N)^\times$ (注意它是 Abel 群), $\mathcal O_F=\mathbb{Z}$, $\mathcal O_K=\mathbb{Z}[\zeta_N]$. 考虑素理想 $v=(p)$, 其非分歧当且仅当 $p$ 不整除 $N$. 此时 Frobenius 元素将 $\zeta_N$ 映射到 $\zeta_N^p$.

对于 $\mathcal O_F$ 的素理想 $v$, 选取一个由所有 $F$ 的有限扩张的素理想构成的相容系统, 其中每个元素都出现在 $v$ 的分解中. 这个系统可视为 $\overline{F}$ 的整数环中的一个关联于 $v$ 的素理想 $\bar v$.

函数域

设 $F$ 为 $\mathbb F_q$ 上曲线 $X$ 的函数域, $v$ 为其位, 记 $F_v$ 为 $F$ 关于 $v$ 完备化 (域)得到的局部域, $\mathcal O_v$ 为 $F_v$ 的整数环, $\kappa(v)$ 为 $\mathcal O_v$ 的剩余域.

每一个嵌入 $\overline{F}\subset\overline{F_v}$ 都给出绝对 Galois 群之间的一个嵌入 $\operatorname{Gal}(\overline{F_v}/F_v)\subset\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$.

$\operatorname{Gal}(\overline{\kappa(v)}/\kappa(v))\simeq\widehat {\mathbb{Z}}$ 中有一个 Frobenius 元素 $x\mapsto x^{q^{\deg(v)}}$, 考虑其在 $\operatorname{Gal}(\overline{F_v}/F_v)$ 中的提升在 $\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$ 的像, 称之为 $\operatorname{Gal}(\overline{F}/F)$ 在 $v$ 处的 Frobenius 元素 $\mathrm{Frob}_v$.

性质

$\mathbb F_p$ 的代数闭包的 Frobenius 同态是绝对 Galois 群 $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb F_p}/\mathbb F_p)$ 的拓扑生成元.

设 $k$ 为 $p$ 特征域 (视为 $\mathbb F_p$-代数). 若 $k$ 的 Frobenius 态射 $x\mapsto x^p$ 为同构, 则 $k$ 为完美域.

百科. Langlands 对偶群 [Langlands对偶]

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观念

设 $G$ 为约化代数群, 其 Langlands 对偶 ${^LG}$ 是置换其根数据所得的另一个代数群.

Langlands 对应将 $G$ (准确地说是 $G(\mathbb A_F)$) 的自守表示联系到 $^LG$-值的 Galois 表示 (即同态 $\mathrm {Gal}(\overline{F}/F)\to {^LG}$).

Langlands 对偶群也可由佐武等价定义.

性质

规范理论中的 Langlands 对偶

A gauge theory has a coupling constant $g$, which plays the role of the electric charge $e$. The conjectural non-abelian electro-magnetic duality, which has later become known as $S$-duality, has the form $(G, g) \leftrightarrow (^LG, 1/g)$.

百科. Langlands 纲领 [Langlands纲领]

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观念

Langlands 纲领是调和分析 (Fourier 变换) 的 “非 Abel” 类比.


椭圆曲线	←	Ramanujan	→	自守形式
↓				↓
$\operatorname{Gal}(\overline{F}/F) \to {^LG}$, Frobenius	←	原始 Langlands 对应	→	$\mathbb G(\mathbb A_F)$ 的自守表示, Hecke
↓				↓
曲线上的平坦 ${^LG}$-丛	←	几何 Langlands 对应	→	主丛的模空间 $\mathrm {Bun}_G$ 上的 Hecke 特征层
↓				↓
$\mathrm {Loc}_{^LG}$ 上的导出范畴	←	范畴 Langlands 对应	→	$\mathrm {Bun}_G$ 上的 D-模导出范畴

百科. “Shtuka” [Shtuka]

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Shtuka = Hecke 调整 + Frobenius 态射

General Shtukas can be thought of as a version of motives not defined in characteristic $p$ but whose coefficient field is of characteristic $p$. — 恽之伟, Introduction to Shtukas and their Moduli

Shtuka 的模空间或模叠是志村簇的函数域类比, 是函数域 Langlands 纲领中的重要角色.

L. Lafforgue used the moduli stack of rank $n$ Shtukas and their compactifications to prove the Ramanujan–Petersson conjecture and the Langlands conjecture for $\mathrm {GL}_n$ over a global function field for any $n\in\mathbb N$.

定义

Shtuka 的模空间定义为如下的拉回, 其中 $\mathrm {Hecke}^r$ 是 Hecke 叠. $$ \begin{array} {ccc} \mathrm {Sht}^r & \to & \mathrm {Bun}^r \\ \downarrow && \downarrow \\ \mathrm {Hecke}^r & \to & \mathrm {Bun}^r\times\mathrm {Bun}^r \end{array} $$ 其中右边映射是 $\mathcal E\mapsto (\mathcal E,\mathcal E^\sigma)$, $\mathcal E^\sigma:=(\operatorname{id}_X\times\operatorname{Frob}_S)^*\mathcal E$ 是沿 $S$ 的 Frobenius 态射的拉回.

换言之, $\mathrm {Sht}^r(S)$ 的对象是如下资料,

$X\times S$ 上的 $r$ 阶向量丛 $\mathcal E$,
两个映射 $0,\infty \colon S \to X$,
一个调整 $\mathcal E\hookrightarrow \mathcal E'\hookleftarrow\mathcal E''$, 满足 $\mathcal E'/\mathcal E$ 支在 $\Gamma_\infty$ (即映射 $\infty$ 的图像) 上, $\mathcal E'/\mathcal E''$ 支在 $\Gamma_0$ 上, 且这两个层在支集上为可逆层,
一个同构 $\mathcal E^\sigma\simeq\mathcal E''$.

$r=1$ 时, 概形 $S$ 上的 $1$ 阶 Shtuka 相当于 $X\times S$ 上的线丛 $L$ 以及一个同构 $$ L^\sigma\otimes L^{-1}\simeq \mathcal O_{X\times S}(\Gamma_\infty - \Gamma_0). $$

性质

$\mathrm{Sht}$ 是 Deligne–Mumford 叠.

百科. 几何 Langlands 对应 [几何Langlands对应]

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陈述

经典对应

几何 Langlands 对应是经典 Langlands 对应的函数域类比, 以及其在复代数曲线 (Riemann 面) 上的进一步类比.

todo: 重写

Galois 表示理解为 $\ell$-进层.

非分歧自守表示给出 $\mathrm{GL}_n(F) \backslash \mathrm{GL}_n(\mathbb A) / \mathrm{GL}_n(\mathcal O)$ 上的函数 $f_\pi$ (差一个常数), 它是 Hecke 代数 $\mathcal H_x, x\in X$ 的特征函数. 使用 Grothendieck 函数–层字典, 该函数对应于 $X$ 上的 $G$-丛模空间上的 Hecke 特征层.

范畴层面的对应

“范畴式” (categorical) 几何 Langlands 对应的主旨是两个 DG 范畴的比较:

几何 (“自守”) 侧, 即 $X$ 上 $G$-丛的模空间上的 D-模;
谱 (“Galois”) 侧, 即 $X$ 上 $\check G$-局部系统的叠上的拟凝聚层.

物理视角: Kapustin–Witten

2006 年, Kapustin 与 Witten 指出 4D 超对称规范场论的 S 对偶能够推出几何 Langlands 对应.

对于 Langlands 对偶群 $G,G^L$, 分别考虑代数曲线 $X$ 上对应的 Higgs 丛的 Hitchin 模叠, 人们认识到几何 Langlands 纲领与该几何对象的同调镜像对称有关.

百科. 函数域类比 [函数域类比]

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数域 (“F1 上曲线的函数域”)	$\mathbb F_q$ 上曲线的函数域	复曲线
$\mathbb{Z}$	多项式环 $\mathbb F_q[z]$	复平面上的全纯函数 $\mathcal O$
$\mathbb{Q}$	分式域 $\mathbb F_q(z)$	复平面上的亚纯函数
素数 $p$	$x\in\mathbb F_p$	$x\in\mathbb{C}$
$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$	$\operatorname{Spec}\mathbb F_q[z]\simeq\mathbb A^1_{\mathbb F_q}$	复平面 $\mathbb{C}$
$\operatorname{Spec}\mathbb{Z} \cup \infty$	$\mathbb P^1_{\mathbb F_q}$	Riemann 球面 $\mathbb{C}P^1$
$\dfrac{(-)^p-(-)}{p}$	$\dfrac{\partial}{\partial z}$	$\dfrac{\partial}{\partial z}$
$\mathbb{Z}/p^n$	$\mathbb F_q[z]/(z-x)^n$	$\mathbb{C}[z]/(z-x)^n$
$p$-进整数 $\mathbb{Z}_p$	形式幂级数 $\mathbb F_q[[z-x]]$	$\mathbb{C}[[z-x]]$
$p$-进数 $\mathbb{Q}_p$	Laurent 级数 $\mathbb F_q((z-x))$	去心邻域上的全纯函数 $\mathbb{C}((z-x))$
Adèle $\mathbb A_{\mathbb{Q}}$	$\mathbb A_{\mathbb F_q}$	$\prod'_{x\in\mathbb{C}}\mathbb{C}((z-x))$
Idèle $\mathbb I_{\mathbb{Q}}$	$\mathbb I_{\mathbb F_q}$	$\prod'_{x\in\mathbb{C}}\mathrm {GL}_1\mathbb{C}((z-x))$
Riemann ζ-函数	Goss ζ-函数
数域 $K$	代数曲线上的函数域 $K$	Riemann 面 $\Sigma$ 上的有理函数层 $K_\Sigma$
整数环 $\mathcal O_K$		结构层 $\mathcal O_\Sigma$
带有 Archimedes 位的谱 $\operatorname{Spec}_{\text{an}}(\mathcal O_K) \to \operatorname{Spec}\mathbb{Z}$	算术曲线 $\Sigma$	Riemann 面作为 Riemann 球面的分歧覆叠 $\Sigma \to \mathbb{C}P^1$
Frobenius 的提升 (λ-环结构)	$\dfrac{\partial}{\partial z}$	$\dfrac{\partial}{\partial z}$
数域的亏格	代数曲线的亏格	Riemann 面的亏格
素理想 $v\in\mathcal O_K$	$x\in\Sigma$	$x\in\Sigma$
Adèle $\mathbb A_{\mathbb{K}}$		$\prod'_{x\in\Sigma}\mathbb{C}((z_x))$
Idèle $\mathbb I_{K}$		$\prod'_{x\in\Sigma}\mathrm {GL}_1\mathbb{C}((z_x))$
Galois 群		基本群
Galois 表示		局部系统
$\mathrm {GL}_1(K)\backslash \mathrm {GL}_1(\mathbb A_K) / \mathrm {GL}_1(\mathcal O)$	$\mathrm {GL}_1(K)\backslash \mathrm {GL}_1(\mathbb A_K) / \mathrm {GL}_1(\mathcal O)$	线丛的模叠 $\mathrm {Bun}_{\mathrm {GL}_1}(\Sigma)$
数域 Langlands 对应		几何 Langlands 对应
Dedekind ζ-函数	Weil ζ-函数	Riemann 面 (Laplace 算子) 的 ζ-函数

Weil 罗塞塔石碑

百科. 局部域 [局部域]

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局部域是相对于整体域的概念, 若整体域可想象为曲线上的有理函数域, 则局部域是曲线上的形式邻域 (所谓 “形式圆盘”) 上的函数域.

整体域的 Langlands 纲领有一个局部域版本, 称为局部 Langlands 对应.

定义

局部域是局部紧 Hausdorff 拓扑域.

性质

局部域的同构类可如下分为三类:

Archimedes 局部域, 即 $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$;
非 Archimedes 特征 $0$ 局部域, 即 $\mathbb{Q}_p$ 的有限扩张, 又称 $p$-进域;
非 Archimedes 特征 $p$ 局部域, 即 $\mathbb F_q(\!(t)\!)$ ($q$ 为 $p$ 的幂).

非 Archimedes 局部域上的赋值

非 Archimedes 局部域 $F$ 上有一绝对值 $\|{-}\| \colon F \to \mathbb{R}_{\geq 0}$, 满足对 Haar 测度 $\mu$ 和任意可测子集 $X$, $$ \mu(aX) = \|a\|\mu(X). $$

定义 $F$ 的整数环 (ring of integers) 为 $$ \mathcal O = \{x\in F \mid \|x\|\leq 1\}. $$ 它是局部环, 离散赋值环, 有唯一的极大理想 $$ \mathfrak m = \{x\in F \mid \|x \| < 1\}. $$ 一般记 $k=\mathcal O / \mathfrak m$ 为其剩余域 (residue field). 非 Archimedes 局部域的剩余域一定是有限域.

局部域的整数环的极大理想 $\mathfrak m$ 是主理想, 其生成元 $\varpi$ 称为单值子 (uniformizer). 若取定一个单值子 $\omega$, 则域的每个元素都可以唯一地写成 $\omega^n u$, $n$ 为整数, $u\in\mathcal O^\times$ 为单位.

若 $F$ 是非 Archimedes 特征 $p$ 局部域, 则 $F$ 的每个单值子 $\varpi$ 给出一个同构 $F \simeq k(\!(T)\!)$.

百科. “谷山–志村猜想” [谷山–志村猜想]

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谷山–志村猜想的大意是说每个有理椭圆曲线都来自模形式.

表述

$\mathbb{Q}$ 上的椭圆曲线都可由某个级数 $N$ 的经典模曲线 $X_0(N)$ 经过一个整系数的有理映射得到, 称之为 $N$ 级的模参数化 (modular parametrization).
对任意有理椭圆曲线 $y^2= Ax^3 + Bx^2+ Cx+ D$, 存在 $N$ 级的非常值模函数 $f(z),g(z)$, 使得 $f(z)^2 = A g(z)^2 + C g(z) + D$ (也即有同样的 Dirichlet L-级数).
设有理椭圆曲线 $E$ 有导子 $N_E$, 则存在尖点形式 $f$ 使得 $a_1(f)=1$, 且对所有素数 $p$ 有 $a_p(f)=a_p(E)$.

与 Langlands 对应的关系

The Taniyama conjecture says that the L-series of an elliptic curve over Q is automorphic (more specifically, arises from a modular form). Langlands conjectures that every L-series arising from algebraic geometry is automorphic (in the sense he defined).

Langlands 对应