百科. p-进整数 [p-进整数]

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定义

对于素数 $p$, 定义 $p$-进整数环 $\mathbb{Z}_p$ 为整数环 $\mathbb{Z}$ 关于 $p$ 生成的理想 $(p)$ 的完备化, 即 $$ \mathbb{Z}_p = \operatorname{lim}_n \mathbb{Z}/(p^n). $$

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百科. 函数域类比 [函数域类比]

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数域 (“F1 上曲线的函数域”)	$\mathbb F_q$ 上曲线的函数域	复曲线
$\mathbb{Z}$	多项式环 $\mathbb F_q[z]$	复平面上的全纯函数 $\mathcal O$
$\mathbb{Q}$	分式域 $\mathbb F_q(z)$	复平面上的亚纯函数
素数 $p$	$x\in\mathbb F_p$	$x\in\mathbb{C}$
$\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$	$\operatorname{Spec}\mathbb F_q[z]\simeq\mathbb A^1_{\mathbb F_q}$	复平面 $\mathbb{C}$
$\operatorname{Spec}\mathbb{Z} \cup \infty$	$\mathbb P^1_{\mathbb F_q}$	Riemann 球面 $\mathbb{C}P^1$
$\dfrac{(-)^p-(-)}{p}$	$\dfrac{\partial}{\partial z}$	$\dfrac{\partial}{\partial z}$
$\mathbb{Z}/p^n$	$\mathbb F_q[z]/(z-x)^n$	$\mathbb{C}[z]/(z-x)^n$
$p$-进整数 $\mathbb{Z}_p$	形式幂级数 $\mathbb F_q[[z-x]]$	$\mathbb{C}[[z-x]]$
$p$-进数 $\mathbb{Q}_p$	Laurent 级数 $\mathbb F_q((z-x))$	去心邻域上的全纯函数 $\mathbb{C}((z-x))$
Adèle $\mathbb A_{\mathbb{Q}}$	$\mathbb A_{\mathbb F_q}$	$\prod'_{x\in\mathbb{C}}\mathbb{C}((z-x))$
Idèle $\mathbb I_{\mathbb{Q}}$	$\mathbb I_{\mathbb F_q}$	$\prod'_{x\in\mathbb{C}}\mathrm {GL}_1\mathbb{C}((z-x))$
Riemann ζ-函数	Goss ζ-函数
数域 $K$	代数曲线上的函数域 $K$	Riemann 面 $\Sigma$ 上的有理函数层 $K_\Sigma$
整数环 $\mathcal O_K$		结构层 $\mathcal O_\Sigma$
带有 Archimedes 位的谱 $\operatorname{Spec}_{\text{an}}(\mathcal O_K) \to \operatorname{Spec}\mathbb{Z}$	算术曲线 $\Sigma$	Riemann 面作为 Riemann 球面的分歧覆叠 $\Sigma \to \mathbb{C}P^1$
Frobenius 的提升 (λ-环结构)	$\dfrac{\partial}{\partial z}$	$\dfrac{\partial}{\partial z}$
数域的亏格	代数曲线的亏格	Riemann 面的亏格
素理想 $v\in\mathcal O_K$	$x\in\Sigma$	$x\in\Sigma$
Adèle $\mathbb A_{\mathbb{K}}$		$\prod'_{x\in\Sigma}\mathbb{C}((z_x))$
Idèle $\mathbb I_{K}$		$\prod'_{x\in\Sigma}\mathrm {GL}_1\mathbb{C}((z_x))$
Galois 群		基本群
Galois 表示		局部系统
$\mathrm {GL}_1(K)\backslash \mathrm {GL}_1(\mathbb A_K) / \mathrm {GL}_1(\mathcal O)$	$\mathrm {GL}_1(K)\backslash \mathrm {GL}_1(\mathbb A_K) / \mathrm {GL}_1(\mathcal O)$	线丛的模叠 $\mathrm {Bun}_{\mathrm {GL}_1}(\Sigma)$
数域 Langlands 对应		几何 Langlands 对应
Dedekind ζ-函数	Weil ζ-函数	Riemann 面 (Laplace 算子) 的 ζ-函数

Weil 罗塞塔石碑

百科. 完备化 (环) [完备化(环)]

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观念

环关于理想的完备化给出了仿射概形的闭子概形的形式邻域.

另见完备化 (域), 完备化 (稳定同伦论).

定义

环 $R$ 关于理想 $I$ 的完备化为 $$ \operatorname{lim}_nR/I^n. $$

例

整数环 $\mathbb{Z}$ 关于 $(p)$ 的完备化为 $p$-进整数环 $\mathbb{Z}_p=\operatorname{lim}_n \mathbb{Z}/p^n$.

代数曲线

光滑代数曲线 $X$ 在点 $x\in X$ 处的局部环 $\mathcal O_{X,x}$ 关于极大理想 $\mathfrak m_x$ 的完备化称为完备化局部环 $\widehat {\mathcal O}_{X,x}$, 对应 $x$ 处的形式圆盘.

观念. 结构, 性质 [结构]

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在数学用语中, 对于一类事物 $A$,

说 $A$ 是结构而非性质, 意思是 $A$ 的选取不是唯一的, 或 “不典范”;
说 $A$ 是性质, 意思是它只要存在就是唯一的, 或者说只有 “是” 或 “否” 两种情形;

用同伦类型论的话说,

结构就是有高阶 ($0$ 阶及以上) 同伦信息的类型, 例如集合.
性质就是 $(-1)$-截断类型, 即命题.

通过截断, 可将结构强行变为性质. 这在数学用于中常常表达为: 虽然 $A$ 是结构而非性质, 但 $A$ 的存在是一个性质. 这句话的实际含义是取 $A$ 的 $(-1)$-截断 $\|A\|$.

例

模结构与性质

设 $M$ 为 $\mathbb{Z}$-模, 那么 “$M$ 为 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$-模” 是性质, 因为 $M$ 具有 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$-模结构等价于对任意 $x \in M$, $nx=0$. 若 $M$ 具有 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$-模结构, 则这个结构是唯一的. 换言之, $M$ 上的 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$-模结构构成 $(-1)$-截断类型.

类似地, 设 $M$ 为 $\mathbb{Z}$-模, 那么 “$M$ 为 $\mathbb{Z}[1/n]$-模” 是性质, 因为 $M$ 具有 $\mathbb{Z}[1/n]$-模结构等价于对任意 $x \in M$, 存在 $y\in M$, $x=ny$.

设 $M$ 为 $\mathbb{Z}$-模, 那么 “$M$ 为 $\mathbb{Z}_p$-模” 是结构而非性质. 直观上, 虽然 $\mathbb{Z}$ 在 $\mathbb{Z}_p$ 中稠密, 但 $M$ 不是拓扑模, 我们谈论的只是模结构, 不能确保 $\mathbb{Z}_p$-模结构唯一. 事实上 $\mathbb{Z}_p\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}_p$ 不同构于 $\mathbb{Z}_p$, 所以 $\mathbb{Z}_p\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Z}_p$ 上有两个不同的 $\mathbb{Z}_p$-模结构.

一般地, 对于环同态 $A\to B$, 如下条件等价:

典范的环同态 $B\otimes_A B \to B$ 为同构;
一个 $A$-模构成 $B$-模是性质;
遗忘函子 $\mathsf{Mod}(B) \to \mathsf{Mod}(A)$ 全忠实.