分式域 [分式域]

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p-进数 [p-进数]

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定义

作为分式域

$p$-进数域 $\mathbb{Q}_p$ 是 $p$-进整数环 $\mathbb{Z}_p$ 的分式域.

作为完备化

$p$-进数域 $\mathbb{Q}_p$ 是 $\mathbb{Q}$ 关于 $p$-进绝对值的完备化.

性质

$p$-进数可表示为 $$ x = \sum_{n = N}^{\infty} a_n p^n, $$ 其中 $N\in\mathbb{Z}$, $a_n\in\{0,1,\cdots,p-1\}$, $a_N\neq 0$.

与实数的小数表示一样, 一个 $p$-进数是有理数, 当且仅当它的表示是循环的.

例

一些有理数的 $3$-进表示:

$$ -1 = \sum_{n=0}^{\infty}2\cdot 3^n = \text{``...222''}. $$

$$ \frac{1}{2} = 2 + \sum_{n=1}^{\infty} 3^n = \text{``...1112''}. $$

$$ \frac{1}{7} = \text{``}...\dot 02120 \dot 1 1\text{''}. $$ 注意循环节的长度为 $6=7-1$. 这是因为 $3^6\equiv 1(\mathrm{mod}\, 7)$.

剩余域 [剩余域]

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定义

剩余域有两种不同但有关联的含义.

局部环, 概形

局部环的剩余域是它唯一的极大理想的商.

非 Archimedes 赋值域

设 $(K,\|{-}\|)$ 为非 Archimedes 赋值域, $\mathcal O_K=\{x\in K\mid \|x\|\leq 1\}$ 为其赋值环, 其唯一的极大理想为 $\mathfrak m=\{x\in K\mid\|x\|<1\}$. 此时称 $\mathcal O_K/\mathfrak m$ 为 $K$ 的剩余域.

例

例. 整概形 $X$ 的一般点 $\eta$ 处的剩余域同构于茎 $\mathcal O_{X,\eta}$ 的分式域. 特别地, 设 $A$ 为整环, $\operatorname{Spec}A$ 的一般点的剩余域为 $A$ 的分式域.

例 (仿射直线). 设 $f\in \mathbb F_p[t]$ 为 $d$ 次不可约多项式, 那么 $\mathbb A^1_{\mathbb F_p}$ 的闭点 $(f)$ 处的剩余域为 $\mathbb F_{q}$, $q=p^d$.

例 (椭圆曲线). 考虑 $\mathbb F_3$ 上的曲线 $y^2=x^3+x$. 其有一个 $\mathbb F_9$-点 $(1,\sqrt{2})$ (因为 $2$ 不是 $\mathbb F_3$ 中的平方数). 其对应的闭点 (Galois 轨道 $\{(1,\pm\sqrt{2})\}$) 的剩余域为 $\mathbb F_9$.

赋值判别法 [赋值判别法]

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陈述

设 $f\colon X\to Y$ 为概形映射. 对所有赋值环 $A$ 及其分式域 $K$, 考虑提升问题 $$ \begin{array} {ccc} \operatorname{Spec}K & \to & X\\ \downarrow & & \downarrow \\ \operatorname{Spec}A & \to & Y, \end{array} $$ 则

$f$ 为泛闭映射当且仅当该提升问题总有解;
在 $f$ 拟分离的假设下, $f$ 分离当且仅当该提升问题至多有一个解.

赋值环 [赋值环]

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观念

赋值环是可以在某个单一的维度比较元素大小的环. 若通过代数–几何对偶将环的元素理解为某几何对象上的函数, 则赋值的概念可理解为某种 “增长速率” 或 “消失速率”.

定义

设 $K$ 为域. 若整环 $\mathscr O \subset K$ 满足 $\mathscr O\neq K$, 且对任意 $x\in K$ 都有 $x\in \mathscr O$ 或 $x^{-1}\in \mathscr O$, 则称 $\mathscr O$ 是 $K$ 中的赋值环 (valuation ring).

特别地, $K$ 是 $\mathscr O$ 的分式域.

一个整环若是其分式域中的赋值环, 则称其为赋值环.

赋值

设 $\mathscr O$ 是 $K$ 中的赋值环. 那么对任意 $x,y\in K^\times$, 以下三种情形有且仅有一种成立:

$y/x$ 是 $\mathscr O$ 中的不可逆元;
$x/y$ 是 $\mathscr O$ 中的不可逆元;
$y/x$, $x/y$ 均属于 $\mathscr O^\times$, 两者互逆.

换言之, $K^\times$ 中的元素划分入等价类: $$ V = K^\times / \mathscr O^\times, $$ 称投影映射 $\nu\colon K^\times \to V$ 为 $\mathscr O$ 定义的赋值 (valuation). 群 $V$ 称作 $\mathscr O$ 的赋值群. 一般的习惯是将 $V$ 中的运算写作加法, 特别地, 记 $[1]=0$. 有时我们还将赋值延拓到 $K$ 上, 定义 $\nu(0)=\infty$.

赋值群同构于 $\mathbb{Z}$ 的赋值环称为离散赋值环.

对 $[a],[b]\in V$, 若 $a^{-1}b \in\mathscr O$, 则记 $[a]\leq [b]$. 对任意 $v\in V$ 记 $v\leq\infty$. 容易验证 $$ \nu(a+b)\geq\min\{\nu(a),\nu(b)\}. $$

性质

局部环

命题. 赋值环是局部环.

证明. 设 $\mathscr O$ 是赋值环. 对任意 $x\in \mathscr O$ ($x\neq 0,1$), 在分式域中 $\frac{x}{1-x}$, $\frac{1-x}{x}$ 之一属于 $\mathcal O$, 这说明 $x,1-x$ 之一可逆, 故 $\mathscr O$ 为局部环. (这个证明使用了排中律.)

理想

命题. 若 $\mathscr O$ 为赋值环, 则 $\mathscr O$ 有唯一的极大理想 $P=\{x\in\mathscr O\mid\nu(x)>0\}$, 且当 $\nu(a)\neq\nu(b)$ 时, $\nu(a+b) = \min\{\nu(a),\nu(b)\}$.

命题. 一个赋值环的全体理想构成一个全序. 特别地, 任何两个元素之间有整除关系.

例

对于非 Archimedes 赋值域 $(K,|{-}|)$, 其整数环 $\mathcal O_K = \{x\in K \mid |x| \leq 1\}$ 为赋值环.