剩余域 [剩余域]

定义

剩余域有两种不同但有关联的含义.

局部环, 概形

局部环的剩余域是它唯一的极大理想的商.

非 Archimedes 赋值域

设 $(K,\|{-}\|)$ 为非 Archimedes 赋值域, $\mathcal O_K=\{x\in K\mid \|x\|\leq 1\}$ 为其赋值环, 其唯一的极大理想为 $\mathfrak m=\{x\in K\mid\|x\|<1\}$. 此时称 $\mathcal O_K/\mathfrak m$ 为 $K$ 的剩余域.

例

例. 整概形 $X$ 的一般点 $\eta$ 处的剩余域同构于茎 $\mathcal O_{X,\eta}$ 的分式域. 特别地, 设 $A$ 为整环, $\operatorname{Spec}A$ 的一般点的剩余域为 $A$ 的分式域.

例 (仿射直线). 设 $f\in \mathbb F_p[t]$ 为 $d$ 次不可约多项式, 那么 $\mathbb A^1_{\mathbb F_p}$ 的闭点 $(f)$ 处的剩余域为 $\mathbb F_{q}$, $q=p^d$.

例 (椭圆曲线). 考虑 $\mathbb F_3$ 上的曲线 $y^2=x^3+x$. 其有一个 $\mathbb F_9$-点 $(1,\sqrt{2})$ (因为 $2$ 不是 $\mathbb F_3$ 中的平方数). 其对应的闭点 (Galois 轨道 $\{(1,\pm\sqrt{2})\}$) 的剩余域为 $\mathbb F_9$.