p-进数 [p-进数]

定义

作为分式域

$p$-进数域 $\mathbb{Q}_p$ 是 $p$-进整数环 $\mathbb{Z}_p$ 的分式域.

作为完备化

$p$-进数域 $\mathbb{Q}_p$ 是 $\mathbb{Q}$ 关于 $p$-进绝对值的完备化.

性质

$p$-进数可表示为 $$ x = \sum_{n = N}^{\infty} a_n p^n, $$ 其中 $N\in\mathbb{Z}$, $a_n\in\{0,1,\cdots,p-1\}$, $a_N\neq 0$.

与实数的小数表示一样, 一个 $p$-进数是有理数, 当且仅当它的表示是循环的.

例

一些有理数的 $3$-进表示:

$$ -1 = \sum_{n=0}^{\infty}2\cdot 3^n = \text{``...222''}. $$

$$ \frac{1}{2} = 2 + \sum_{n=1}^{\infty} 3^n = \text{``...1112''}. $$

$$ \frac{1}{7} = \text{``}...\dot 02120 \dot 1 1\text{''}. $$ 注意循环节的长度为 $6=7-1$. 这是因为 $3^6\equiv 1(\mathrm{mod}\, 7)$.