观念
环关于理想的完备化给出了仿射概形的闭子概形的形式邻域. 相应地, 模的完备化则是拟凝聚层在该形式邻域上的限制.
另见完备化 (域), 完备化 (稳定同伦论).
定义
环 $R$ 关于理想 $I$ 的完备化为
$$
R^{\wedge}_{I} :=\operatorname{lim}_nR/I^n.
$$
类似地, $R$-模 $M$ 关于 $R$ 的理想 $I$ 的完备化为
$$
M^{\wedge}_{I} := \operatorname{lim}_n M/I^nM.
$$
例
整数环 $\mathbb{Z}$ 关于 $(p)$ 的完备化为 $p$-进整数环 $\mathbb{Z}_p=\operatorname{lim}_n \mathbb{Z}/p^n$.
代数曲线
光滑代数曲线 $X$ 在点 $x\in X$ 处的局部环 $\mathcal O_{X,x}$ 关于极大理想 $\mathfrak m_x$ 的完备化称为完备化局部环 $\widehat {\mathcal O}_{X,x}$, 对应 $x$ 处的形式圆盘.
相关概念
形式谱, 完备化 (域)