观念
离散赋值环在几何侧对应一个点带有周围的小邻域, 使得其上的函数能够承载在该点处 “消失阶数” 的概念.
定义
离散赋值环是赋值环,
等价定义
一个离散赋值环是一个 (含幺交换) 环 $A$ 带有一个映射 $v\colon A\to\mathbb{Z}\cup\{\infty \}$, 满足 $v(ab)=v(a)+v(b)$, $v(a+b)\geq\operatorname{min}(v(a),v(b))$.
离散赋值环是仅有一个极大理想的主理想整环. 其极大理想由赋值 $\geq 1$ 的元素构成.
离散赋值环是具有唯一不可约元的唯一分解整环.
性质
离散赋值环是局部环.
例
$p$-进整数环 $\mathbb{Z}_p = \operatorname{lim}_n \mathbb{Z}/(p^n)$ 是离散赋值环, 赋值是被 $p$ 整除的次数.
$\mathbb{C}[x]$