观念
离散赋值环是一种特殊的赋值环, 在几何侧对应一维的曲线上的一点带有周围的小邻域, 其上的函数具有在该点处 “消失阶数” 的概念.
定义
离散赋值环是含幺交换环 $R$ 带有一个映射 $v\colon R \to\mathbb{Z}\cup\{\infty \}$, 满足
- $v(x)=\infty$ 当且仅当 $x=0$;
- $v$ 为满射;
- $v(xy) = v(x) + v(y)$ (约定 $n+\infty = \infty$);
- $v(x+y) \geq \operatorname{min}(v(x),v(y))$.
等价定义
离散赋值环是仅有一个极大理想的主理想整环. 其极大理想由赋值 $\geq 1$ 的元素构成.
离散赋值环是具有唯一不可约元的唯一分解整环.
性质
局部环
离散赋值环是局部环, 其唯一的极大理想由赋值 $\geq 1$ 的元素构成.
赋值环
离散赋值环是赋值环. 设 $R$ 为离散赋值环, 对 $x\in\operatorname{Frac}R$, 有 $x\in R$ 或 $x^{-1}\in R$.
例
$p$-进整数环 $\mathbb{Z}_p = \operatorname{lim}_n \mathbb{Z}/(p^n)$ 是离散赋值环, 赋值是被 $p$ 整除的次数.
$\mathbb{C}[t]_{(t)}$ 是离散赋值环, 赋值是被 $t$ 整除的次数.