陈述
经典对应
几何 Langlands 对应是经典 Langlands 对应的函数域类比, 以及其在复代数曲线 (Riemann 面) 上的进一步类比.
todo: 重写
Galois 表示理解为 $\ell$-进层.
非分歧自守表示给出 $\mathrm{GL}_n(F) \backslash \mathrm{GL}_n(\mathbb A) / \mathrm{GL}_n(\mathcal O)$ 上的函数 $f_\pi$ (差一个常数), 它是 Hecke 代数 $\mathcal H_x, x\in X$ 的特征函数. 使用 Grothendieck 函数–层字典, 该函数对应于 $X$ 上的 $G$-丛模空间上的 Hecke 特征层.
范畴层面的对应
“范畴式” (categorical) 几何 Langlands 对应的主旨是两个 DG 范畴的比较:
- 几何 (“自守”) 侧, 即 $X$ 上 $G$-丛的模空间上的 D-模;
- 谱 (“Galois”) 侧, 即 $X$ 上 $\check G$-局部系统的叠上的拟凝聚层.
物理视角: Kapustin–Witten
2006 年, Kapustin 与 Witten 指出 4D 超对称规范场论的 S 对偶能够推出几何 Langlands 对应.
对于 Langlands 对偶群 $G,G^L$, 分别考虑代数曲线 $X$ 上对应的 Higgs 丛的 Hitchin 模叠, 人们认识到几何 Langlands 纲领与该几何对象的同调镜像对称有关.
相关概念
量子几何 Langlands 纲领