观念
范畴 $\mathcal C$ 上的单子 $T$ 上的代数是一个对象 $1\to\mathcal C$, 带有单子 $T$ 上的左模结构.
一个单子 $T$ 上的代数的范畴又称为其 Eilenberg–Moore 范畴, 即万有的 $T$-左模.
还有另一个不同的概念, 单子上的右模; 见 Kleisli 范畴.
结合代数给出单子; 在这种意义上, 单子上的代数是结合代数上的模的推广.
定义
左模
范畴 $\mathcal C$ 是自函子范畴 $\operatorname{End}(\mathcal C)$ (作为幺半范畴, 即 $\mathsf{Cat}$ 中的结合代数) 的左模, 因此对于 $\mathcal C$ 上的单子 $T$, 即 $\operatorname{End}(\mathcal C)$ 中的结合代数, 可以谈论 $T$ 在 $\mathcal C$ 中的左模 (代数).
朴素地, 范畴 $\mathcal C$ 上的单子 $T$ 上的代数 $X$ 包含一个态射 $TX \to X$, 以及交换图
$$
\begin{array}
{ccc}
TTX & \to & TX \\
\downarrow && \downarrow \\
TX & \to & X.
\end{array}
$$
其中两个映射 $TTX \to TX$ 分别来自 $T$ 带有的自然变换 $T^2\to T$ 以及 $X$ 带有的态射 $TX\to X$.
更一般地, 对范畴 $I$, 函子范畴 $\mathsf{Fun}(I,\mathcal C)$ 也是 $\operatorname{End}(\mathcal C)$ 的左模, 从而可以定义 $X\colon I\to\mathcal C$ 上的 $T$-左模 (或称 $T$-代数) 结构. 它包含一个自然变换 $TX \to X$ 以及左模的条件.
另一种理解是, $\mathcal C$ 上的单子 $T$ 诱导了函子范畴 $\mathsf{Fun}(I,\mathcal C)$ 上的单子 $T$; 函子 $I\to\mathcal C$ 的 $T$-左模结构就是这个单子上的代数结构.
自同态单子
对于函子 $U\colon \mathcal D \to \mathcal C$ 以及 $\mathcal C$ 上的单子 $T$, 我们也可定义 $U$ 上的 $T$-左模结构为 $T$ 到自同态单子的单子同态
$$
T \to \underline{\operatorname{End}}(U).
$$
作为松极限
对象 $\mathcal C^{T}$ 可以更加简练地写成单子 $T$ 对应的松函子 $1\to\mathsf{Cat}$ 的松极限. 换言之, 考虑所有范畴上所有单子构成的 $2$-范畴
$$
\mathsf{Mnd}(\mathsf{Cat}) = \mathsf{Fun}^{\mathrm{lax}}(1,\mathsf{Cat}),
$$
有嵌入
$$
\mathsf{Cat} \to \mathsf{Mnd}(\mathsf{Cat}),\,\mathcal C\mapsto (\mathcal C,\mathrm{id}_{\mathcal C});
$$
而取单子上的代数范畴
$$
\mathsf{Mnd}(\mathsf{Cat}) \to \mathsf{Cat},\,(\mathcal C,T)\mapsto\mathcal C^T
$$
正是该嵌入的右伴随. 又换言之, $\mathcal C^T$ 带有一个万有的单子同态 (即前述伴随的余单位)
$$
(\mathcal C^T,\mathrm{id}) \to (\mathcal C,T).
$$
这种观点的一个应用如下. 设 $\mathfrak C$ 为 $2$-范畴, 那么可表函子 $h^X:=\operatorname{Hom}(X,-)\colon \mathfrak C\to\mathsf{Cat}$ 保持松极限; 于是对于 $Y\in\mathcal C$ 上的单子 $T$, 有 $h^X(Y^T)=h^X(Y)^{h^X(T)}$.
右模, 双模
另一个概念是单子上的右模. 对范畴 $J$, 函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal C,J)$ 是 $\operatorname{End}(\mathcal C)$ 的右模, 从而可以定义 $Y\colon \mathcal C\to J$ 上的 $T$-右模结构. 它包含一个自然变换 $YT \to Y$, 以及右模的条件.
另一种理解是, $\mathcal C$ 上的单子 $T$ 诱导了函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal C,J)$ 上的单子 $T^*$; 函子 $\mathcal C\to J$ 的 $T$-右模结构就是这个单子上的代数结构.
进一步, 对于两个范畴 $\mathcal C,\mathcal D$, $\mathcal C$ 上的单子 $T$ 与 $\mathcal D$ 上的单子 $S$, 定义 $(T,S)$-双模为函子 $X\colon \mathcal D\to\mathcal C$, 同时具有相容的 $T$-左模和 $S$-右模结构, 即有如下交换图.
$$
\begin{array}
{ccc}
TXS & \to & TX \\
\downarrow & & \downarrow \\
XS & \to & X.
\end{array}
$$
性质
自由–遗忘伴随
对于 $\mathcal C$ 上的单子 $T$, 记 $\mathcal C^T$ 为 $\mathcal C$ 中 $T$-代数的范畴, $U\colon \mathcal C^T\to\mathcal C$ 为遗忘函子, 其左伴随 (“自由 $T$-代数” 函子) 为 $F\colon \mathcal C\to\mathcal C^T$, $F(X) = TX$. 这对伴随给出 $\mathcal C^T$ 上的余单子 $FU$ (见伴随给出单子).
杠构造
类似于给定结合代数 $A$ 上的右模 $M$ 和左模 $N$ 可作相对张量积 $M\otimes_A N$, 给定单子 $T$ 上的右模和左模也可作 “相对张量积”, 见双边杠构造.
例
伴随的典范模结构
对于函子 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$, $G\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 之间的一对伴随 $F\dashv G$ 给出的单子 $T= GF$,
- $F$ 有典范的 $T$-右模结构 $FT=FGF \to F$,
- $G$ 有典范的 $T$-左模结构 $TG=GFG \to G$.
见双边杠构造.