Wiki. 粘构形范畴 [粘构形范畴]

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粘构形范畴 (category of sticky configurations) 是 Ricardo Andrade 的博士论文 (以下简称 “原文”) 定义的一个范畴. 对于空间 $X$, 该文定义了一个范畴 $\mathbb M(X)$,

其对象为 $X$ 中的有限点集;
态射为 “粘同伦”, 即一种特殊的同伦, 其中两个点 “一旦碰到一起便不会再分开”, 仿佛这些点有 “粘性”.

定义

记

$\mathsf{Top}$ 为拓扑空间的范畴;
$\mathsf{Cat}^{\hookrightarrow}$ 为 $\mathsf{Cat}^{\to}$ 的子范畴, 其对象为子范畴的含入 $\mathcal C_0 \hookrightarrow \mathcal C_1$;
$\mathsf{Cat}^{\hookrightarrow}_{\mathrm{cart}}$ 为 $\mathsf{Cat}^{\hookrightarrow}$ 的子范畴, 其对象 $\mathcal C_0\hookleftarrow\mathcal C_1$ 满足 $\mathcal C_1$ 具有拉回, 且 $\mathcal C_0$ 中的态射关于拉回稳定, $\mathsf{Cat}^{\hookrightarrow}_{\mathrm{cart}}$ 的态射为保持拉回的函子, $2$-态射为拉回自然变换 (即自然性条件的每个方块均为拉回方块).

定义 (粘同伦). 考虑 $(\mathcal C_0\hookrightarrow\mathcal C_1)\in\mathsf{Cat}^{\hookrightarrow}$, 以及函子 $F \colon \mathcal C_1 \to \mathsf{Top}$. 对于 $\mathcal C_1$ 的对象 $x$, 称拓扑空间 $F(x)$ 上的道路 $\alpha$ 为粘同伦 (sticky homotopy) 是指如下条件成立: 对 $\mathcal C_0$ 中的任意态射 $y\to x$, 若道路 $\alpha$ 在某时刻落入 $F(y)\to F(x)$ 的像, 则它该时刻以后都落在这个像中.

注. 粘同伦的概念具有良好的函子性. 设 $\mathcal C = (\mathcal C_0\hookrightarrow\mathcal C_1)\in\mathsf{Cat}^{\hookrightarrow}$, $F\colon \mathcal C_1 \to \mathsf{Top}$, 考虑拓扑空间 $F(x)$ 的道路范畴 $\operatorname{Path}F(x)$, 它是 $\mathsf{Top}$ 的内范畴 (粗略地说, 即其对象集和态射集均有拓扑结构), 则粘同伦给出其一个子范畴 $\operatorname{St}F(x) \to \operatorname{Path}F(x)$. 这一构造关于许多东西有函子性, 详见原文 III.3 节. 这里的叙述已经比原文简化了许多, 但仍旧显得过度抽象. 读者可安心地忽略以上内容, 从下一段开始阅读.

记

$\mathsf{Fin}$ 为有限集 (即有限离散拓扑空间) 的范畴.
$\mathsf{Fin}_{\mathrm{surj}}$ 为 $\mathsf{Fin}$ 中由满射构成的子范畴.

对任意拓扑空间 $X$, 我们的想法是用有限点集 “探测” 之, 得到函子 $\operatorname{Hom}(-,X) \colon \mathsf{Fin}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Top}$. 对于有限集 $S$ 到 $X$ 的映射 $f,g\colon S\to X$ 以及 $f$ 到 $g$ 的同伦 $\alpha$, 若以下条件成立则称之为粘同伦:

对任意满射 $S \to T$, 若同伦 $\alpha$ 在某时刻落入 $\operatorname{Hom}(T,X)\to \operatorname{Hom}(S,X)$ 的像, 则它此后都落在这个像中.

换言之, 若 $S$ 的两个点在某时刻碰到一起, 则它们此后都保持在一起.

对每个有限集 $S$ 均有 $\mathsf{Top}$ 的一个内范畴 $\operatorname{St}\operatorname{Hom}(S,X)$, 其对象为映射 $S\to X$, 态射为粘同伦. 对这一构造进行某种 Grothendieck 构造 (即对所有 $S$ 将这些范畴合在一起), 得到 $\mathsf{Top}$ 的一个内范畴 $\mathbb M^{\mathrm{big}}(X)$ (原文 III.4.4), 表示 “所有有限点集到 $X$ 的映射与粘同伦构成的范畴”, 再取其中的单射 $S\hookrightarrow X$ (所谓构形) 构成的子范畴, 得到 $\mathbb M(X)$.

例

$S^1$ 的粘构形范畴

$S^1$ 的粘构形范畴可给出 Hochschild 同调.

记 $\mathbb{Z}\mathsf{Poset}$ 为带 $\mathbb{Z}$-作用的偏序集的范畴. 对正整数 $n$ 考虑其中的对象 $x_n$, 底层偏序集为 $(\mathbb{Z},\leq)$, $\mathbb{Z}$-作用由映射 $(-)+n$ 给出. 定义范畴 $\mathcal E$ 为 $\varnothing$ 与 $x_n\,(n\in\mathbb{Z}_{+})$ 在 $\mathbb{Z}\mathsf{Poset}$ 中构成的全子范畴, 原文称之为 Elmendorf 范畴.