百科. 既约环 [既约环]

定义

既约环是满足如下等价条件的环 $R$:

• 对任意 $x\in R$, 若 $x^2=0$, 则 $x=0$.
• 对任意 $x\in R$, 若存在正整数 $n$ 使得 $x^n=0$, 则 $x=0$.

性质

约化: 嵌入的右伴随

环范畴中, 既约环的子范畴的嵌入 $i\colon \mathsf{Ring}_{\mathrm{red}} \hookrightarrow \mathsf{Ring}$ 有左伴随 $r$, 将环 $A$ 对应到其约化 $$ A_{\mathrm{red}} = A / \operatorname{nil}(A). $$ 其中 $\operatorname{nil}(A)$ 为 $A$ 的幂零根 $\{a\in A\mid \exists n\in\mathbb{N},a^n = 0\}$.

对约化环 $R$, 环同态 $A \to R$ 须将 $\operatorname{nil}(A)$ 的元素映射到 $0$, 故唯一地穿过 $A\to A_{\mathrm{red}}$.

该构造可用于解释概形的约化.

局部化

既约环的局部化仍是既约环.