讲义. 从三角范畴到稳定范畴 [homalg-1-tri-st]

定义 (特殊三角) 范畴 $\mathcal C$ 中的特殊三角 (distinguished triangle) 是指下图, $$ \begin{array}{ccccc} X & \rightarrow & Y & \rightarrow & 0 \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ 0 & \rightarrow & Z & \rightarrow & X[1] \end{array} $$ 其中两个方块均为推出 (从而整个长方形也是推出).

定理 (Lurie 定理 1.1.2.14). 设 $\mathcal C$ 为稳定范畴, 则同伦范畴 $h\mathcal C$ 为三角范畴.

我们验证八面体公理.

$$ \begin{array}{ccccccccc} X & \rightarrow & Y & \rightarrow & Z & \rightarrow & 0 & & \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0 & \rightarrow & Y/X & \rightarrow & Z/X & \rightarrow & X[1] & \rightarrow & 0 \\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ & & 0 & \rightarrow & Z/Y & \rightarrow & Y[1] & \rightarrow & (Y/X)[1] \end{array} $$