本文为初学者学习高阶范畴论提供一点参考.
范畴的语言
高阶范畴的语言在许多场合与 $1$-范畴的语言是相同的. 在熟悉 $1$-范畴的基础上, 往往只需补充少量的观念, 就能够顺利理解高阶范畴的语言. 一个难点在于识别哪些构造是模型无关的.
空间的语言; 同伦类型论
第一个需要理解的概念是生象. 它是 “集合” 这一概念在高阶范畴论中的正确类比. 对它的直观常来自同伦论. 谈论生象的一种语言是同伦类型论, 掌握这种语言对理解高阶范畴很有帮助.
例如, 有人 (Cnossen) 正在尝试以类似 HoTT 的语言建立 $\infty$-范畴的公理化数学基础.
关于模型
这里所谓模型, 指的是在集合论 ($1$-范畴论) 的基础上搭建的能够模拟高阶范畴的结构. 模型对于理解高阶范畴的语言是不需要的. 它的作用是
- 在少数场合, 构造具体的高阶范畴 (如 Fukaya 范畴).
- 让人们相信高阶范畴的数学基础是牢固的 (尤其是说服那些奉集合论为圭臬的人). (这是 Lurie 的 HTT 的一大贡献.)
“模型” 的另一种含义是模型范畴; 这是一类具有良好性质的高阶范畴的表现. 但同样地, 理解高阶范畴的语言也不需要模型范畴的概念.
高阶代数
在高阶范畴中做代数是一门极为深奥的学问. 一个难点在于分辨 $1$-范畴中的哪些代数现象在高阶范畴仍然存在, 哪些现象是由于 $1$-范畴 (集合) 的截断性带来的额外便利 (例如高阶代数中的交换代数等结构在截断的 $1$-范畴中退化为性质). 现状往往是后者.
目前, 人们表达代数结构的主要工具是算畴. 这样的现状大致归功于 Lurie 的 Higher Algebra; 但容易找到更简短而友好的材料如 Haugseng.
表达代数结构也有其它工具, 如 PROP; 算畴本身也有许多版本. 不过这些结构都大同小异.