权 [权]

定义

Lie 群或代数群

Lie 群或代数群的权 (weight) 就是其极大环面的特征. 权构成的 Abel 群称为权格 (weight lattice), 记为 $$ X^*(T) := \operatorname{Hom}(T,\mathbb G_m). $$

对于固定的正根系 $\Delta_+$, 支配权 (dominant weight) 是和每个 $\alpha\in\Delta_+$ 配对都非负的权.

Lie 代数

Lie 代数的权是其 Cartan 子代数上的线性函数, 即 $\mathfrak{h}^*$ 的元素.

设 $V$ 是 Lie 代数 $\mathfrak g$ 的表示, $\lambda$ 是 Cartan 子代数 $\mathfrak h$ 上的线性函数.定义 $V$ 关于权 $\lambda$ 的权空间为 $$ V_\lambda = \{ v\in V \colon \forall H\in \mathfrak h, Hv=\lambda (H) v\}. $$

特别地, 若 $V$ 是 $\mathfrak g$ 的伴随表示, 此时具有非平凡权空间的权称为根 (root).