仿射根系 [仿射根系]

定义

设 $V$ 为有限维 $\mathbb{R}$-线性空间, $A$ 为 $V$-仿射空间 (即 $V$-主齐性空间). 对于 $\psi\in A^*$, 记 $\dot\psi\in V^*$ 为 $\psi$ 的导数.

定义仿射根系是如下资料:

• $\Psi\subset A^*$;
• $\Psi$ 生成 $A^{\ast}$, 由非常值函数构成, 且 $\Psi$ 中元素的导数的集合 $\Phi\subset V^*$ 有限;
• 对每个 $\psi\in\Psi$, 存在 ${\dot\psi}^\vee\in V$, 满足 $\dot\psi ({\dot\psi}^\vee) = 2$, 且 $A^*$ 上的反射 $$ r_{\psi,{\dot\psi}^\vee}\colon x\mapsto \dot x({\dot\psi}^\vee)\psi $$ 保持 $\Psi$;
• 对任意 $\psi,\eta\in\Psi$, 有 $\dot\psi({\dot\eta}^\vee)\in\mathbb{Z}$;
• 对任意 $a\in\Phi$, $\{\psi\in\Psi\mid\dot\psi = a\}$ 无聚点.

由反射 $r_{\psi,{\dot\psi}^\vee}$ 生成的群称作仿射 Weyl 群.