仿射空间 [仿射空间]

本页面介绍的是线性空间上的仿射空间. 注意区分仿射空间与仿射概形.

定义

仿射空间是线性空间的主齐性空间.

对于线性空间 $V,V'$, 考虑 $V$-仿射空间 $A$ 到 $V'$-仿射空间 $A'$ 的映射 $F\colon A\to A'$, 若存在线性映射 $f\colon V\to V'$ 使得 $$ F(x+v) = F(x) + f(v)\,(x\in A,v\in V), $$ 则称 $F$ 为仿射映射.

作为 1 的水平面

仿射空间有一种等价的定义: 域 $k$ 上的仿射空间是一个 $k$-线性空间 $W$ 上的线性函数 $\lambda\colon W\to k$ 的取值为 $1$ 的水平面, $$ A = \lambda^{-1}(1), $$ 而与之相应的 $k$-线性空间 $V$ 是取值为 $0$ 的水平面, $$ V = \lambda^{-1}(0). $$

性质

对偶

设 $V$ 为 $k$-线性空间, $A$ 为 $V$-仿射空间. 定义 $A$ 的对偶为 $$ A^* := \operatorname{Hom}_{\mathsf{Aff}} (A,k), $$ 带有逐点加法和数乘给出的 $k$-线性空间结构. 有非典范分裂的短正合列 $$ 0\to k \to A^* \to V^* \to 0. $$