观念
Galois 扩张是域的平展景上以离散群为结构群的 Galois 主丛.
定义
域的 Galois 扩张是正规且可分的代数扩张.
有限 Galois 扩张
域的有限 Galois 扩张是满足如下等价条件的扩张 $F\subset E$:
- $F\subset E$ 是 Galois 扩张, 且是有限扩张.
- $E$ 是 $F$ 上某个可分多项式的分裂域;
- $E$ 是 $F$ 的有限扩张, 且 $E^{\operatorname{Aut}_F(E)} = F$;
- 存在有限子群 $G\subset\operatorname{Aut}(E)$ 使得 $F=E^G$.
性质
Galois 对应
对于有限 Galois 扩张 $F\subset E$, 有双射
$$
\{F\subset E\text{ 的中间域}\} \leftrightarrow \{\operatorname{Gal}(E/F) \text{ 的子群}\},
$$
将中间域 $F\subset M\subset E$ 对应到子群 $\operatorname{Aut}(E/M)\subset\operatorname{Gal}(E/F)$; 且对于正规情形有
$$
\{\text{正规的中间域}\} \leftrightarrow \{\text{正规子群}\}.
$$
设 $F\subset M\subset E$ 是正规的中间域, 则 $E/F$ 的任何自同构将 $M$ 映射到 $M$ 自身, 有短正合列
$$
1\to \operatorname{Aut}(E/M) \to \operatorname{Gal}(E/F) \to \operatorname{Gal}(M/F) \to 1.
$$
复合
设 $F\subset M\subset E$ 是两个域扩张.
- 若 $F\subset E$ 是 Galois 扩张, 则 $M\subset E$ 是 Galois 扩张.
- 当 $F\subset E$ 是 Galois 扩张时, $F\subset M$ 不一定是 Galois 扩张 (考虑 $\mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\subset\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$).
“函子性”
在以下两个命题中, 设 $F\subset E_1$, $F\subset E_2$ 为域扩张, 且 $E_1$, $E_2$ 同时包含于某个更大的域. 记 $E_1\cup E_2$ 生成的域为 $E_1E_2$.
命题. 若 $F\subset E_1$ 为 Galois 扩张, 则 $E_2\subset E_1E_2$ 为 Galois 扩张, 且有自然的嵌入
$$
\operatorname{Gal}(E_1E_2 / E_2) \hookrightarrow \operatorname{Gal}(E_1 / F).
$$
命题. 若 $F\subset E_1$ 为 Galois 扩张且 $E_1\cap E_2 = F$, 则上述嵌入为同构.