观念
切结构是基于光滑流形的切丛的一大类结构的统称, 包括定向, Riemann 度量, 近复结构等. 它是流形的切丛对应的 $\mathrm{GL}_n$-主丛的约化.
定义
设 $p \colon G\to \mathrm{GL}_n$ 为群的同态. (这里的 $\mathrm{GL}_n$ 可以是离散群, 也可以是 Lie 群, 甚至可以是生象群, 依实际需要决定)
对于 $m\leq n$, 定义 $m$ 维流形 $M$ 上的一个 $p$-结构是 $TM\oplus\mathbb{R}^{n-m}$ 的分类映射 $M\to \mathbf{B}\mathrm{GL}_n$ 的一个提升
$$
\begin{array}
{ccc}
&& \mathbf{B}G\\
&\nearrow&\downarrow {\scriptsize \mathbf{B}p}\!\!\!\!\\
M&\to &\mathbf{B}\mathrm{GL}_n.
\end{array}
$$
那么 $p$-结构的集合是非 Abel 上同调的映射 $H^1(M,G) \to H^1(M,\mathrm{GL}_n)$ 之下, 切丛 $TM$ 对应的元素的原像.
当群同态 $p\colon G\to \mathrm{GL}_n$ 没有歧义, 或有一个公认的选取 (比如 $G$ 是 $\mathrm{GL}_n$ 的 Lie 子群) 时, 也称 $p$-结构为 $G$-结构.
带 $p$-结构流形的范畴
分解同调的理论使用如下范畴. 考虑范畴 $\mathsf{Mfd}_n$, 其对象为 $n$ 维光滑流形, 态射空间为光滑嵌入的空间 (注意不是光滑映射的空间). 对于群同态 $p \colon G\to \mathrm{GL}_n$, 定义 “带 $p$-结构的 $n$ 维流形的范畴” $\mathsf{Mfd}_n^p$ 为如下拉回.
$$
\begin{array}
{ccc}
\mathsf{Mfd}_n^p & \to & \mathsf{Ani}_{/\mathbf{B}G}\\
\downarrow & & \downarrow\\
\mathsf{Mfd}_n & \to & \mathsf{Ani}_{/\mathbf{B}\mathrm{GL}_n}
\end{array}
$$
例
在 $n$ 维流形上,
- 平凡子群 $1\to\mathrm{GL}_n$ 对应的结构即为切丛的平凡化, 称为标架.
- $\mathrm{id}_{\mathrm{GL}_n}$-结构等于没有结构.
- $\mathrm{GL}_n^+$-结构就是定向.
- $\mathrm{SL}_n$-结构称为体积形式.
- $\mathrm{O}_n$-结构相当于 Riemann 度量.
- $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})\hookrightarrow\mathrm{GL}_{2n}(\mathbb{R})$-结构就是近复结构.
- $\mathrm{U}_n$-结构又叫近 Hermite 结构.
- $\mathrm{Spin}_n$-结构称为自旋结构.
性质
正合列
设 $M$ 为定向 Riemann 流形, 即有一个 $\mathrm{SO}_n$-结构 $M \to \mathbf{B}\mathrm{SO}_n$. 现在问 $M$ 是否具有 $\mathrm{Spin}_n$-结构. 考虑纤维列
$$
\mathbf{B}\mathbb{Z}/2 \to \mathbf{B}\mathrm{Spin}_n \to \mathbf{B}\mathrm{SO}_n \to \mathbf{B}^2\mathbb{Z}/2,
$$
它给出非 Abel 上同调的正合列
$$
H^1(M,\mathbb{Z}/2) \to H^1(M,\mathrm{Spin}_n)\to H^1(M,\mathrm{SO}_n) \to H^2(M,\mathbb{Z}/2),
$$
而复合映射 $M \to \mathbf{B}\mathrm{SO}_n \to \mathbf{B}^2\mathbb{Z}/2$ 对应的 $H^2(M,\mathbb{Z}/2)$ 的元素恰为第二 Stiefel–Whitney 类 $w_2(M)$.
故 $M$ 有自旋结构当且仅当 $w_2(M)=0$.
可积性
一些重要的结构如复结构, 辛结构, Kähler 流形, 是由 $G$-结构附加某些可积性条件得到的.