观念
Hopf 代数可视为群的推广; 它具有双代数结构与一个对径映射, 对径映射可视为群中取逆运算的推广.
Hopf 代数上的模范畴是群表示范畴的推广.
另见量子群.
另见交换 Hopf 代数.
定义
传统定义
对称幺半 $1$-范畴中的 Hopf 代数是双代数 $(A,m,\eta,\epsilon,\Delta)$ 带有对径映射 $S\colon A\to A$, 满足
$$
m (\mathrm{id} \otimes S) \Delta = m (S \otimes \mathrm{id}) \Delta = \eta\epsilon,
$$
若 Hopf 代数满足 $S^2=\mathrm{id}$, 则称之为对合 Hopf 代数 (involutive Hopf algebra). 有时我们默认这个条件成立.
性质
Hopf 代数的对偶也是 Hopf 代数.
例
群代数
对于交换环 $k$ 与群 $G$, 群代数 $k[G]$ 是 Hopf 代数; 其对偶为群 $G$ 上的 $k$-值函数空间 $\operatorname{Hom}(k[G],k)$ 在卷积下构成的代数.
类似地, 对于有限型代数群 $G$, 其上 D-模的范畴 $D\text{-}\mathsf{Mod}(G)$ 是 $\mathsf{DGCat}$ 中的 Hopf 代数.
泛包络代数
Lie 代数 $\mathfrak g$ 的泛包络代数 $\mathcal U\mathfrak g$ 是 Hopf 代数:
- 余乘法 $\Delta\colon \mathcal U\mathfrak g\to\mathcal U\mathfrak g\otimes\mathcal U\mathfrak g\simeq\mathcal U(\mathfrak g\times\mathfrak g)$ 由对角映射 $\mathfrak g\to\mathfrak g\times\mathfrak g$ 诱导, 其在 $X\in\mathfrak g$ 上的作用为 $\Delta(X)= X\otimes 1+1\otimes X$.
- 对极映射 $S\colon \mathcal U\mathfrak g\to\mathcal U\mathfrak g$ 由 $-\mathrm{id}\colon \mathfrak g\to\mathfrak g$ 诱导.
仿射代数群
相关概念
Cartier 对偶
拟三角 Hopf 代数
交换 Hopf 代数