百科. Thom 谱 [Thom谱]

定义

定义 $d$ 阶实向量丛 $\xi\colon V\to X$ 的 Thom 谱为其 Thom 空间的纬悬谱的 $-d$ 次位移 $$ \operatorname{Th}(\xi) := \Sigma^{-d}\Sigma^{\infty}\text{Th}(V). $$

性质

幺半性

对于 $X$ 上的向量丛 $\xi$ 与 $Y$ 上的向量丛 $\eta$, 记 $\xi\boxplus\eta$ 为 $X\times Y$ 上 $\xi$ 与 $\eta$ 的外直和, 则 $(X\times Y)^{\xi\boxplus\eta}\simeq X^\xi \wedge Y^{\eta}$, 从而 $$ \operatorname{Th}(\xi\boxplus\eta)\simeq\operatorname{Th}(\xi)\wedge\operatorname{Th}(\eta); $$ 这是由于空间偶的缩积 $$ (V,V_0)\wedge (W,W_0)=(V\times W,V\times W_0\cup V_0\times W). $$

例

万有 Thom 谱

• 万有实 Thom 谱 MO 为万有实向量丛的 Thom 谱.
• 万有实 Thom 谱 MU 为万有复向量丛的 Thom 谱.

相关概念

Thom 空间