Thom 谱 [Thom谱]
Thom 谱 [Thom谱]
观念
定义
通过向量丛的 Thom 空间
定义 $d$ 阶实向量丛 $\xi\colon V\to X$ 的 Thom 谱为其 Thom 空间的纬悬谱的 $-d$ 次位移 $$ \operatorname{Th}(\xi) := \Sigma^{-d}\Sigma^{\infty}\text{Th}(V). $$
抽象定义
设空间 $X$ 上有一向量丛, 对应映射 $X\to\mathbf{B}\mathrm{O}_n$; 定义其 Thom 谱为 $\mathsf{Sp}$ 中的余极限 $$ \operatorname{colim}(X\to\mathbf{B}\mathrm{O}_n \to \mathsf{Sp}). $$
对任意生象群同态 $G \to \mathrm{O}$, 定义 “$G$-结构的万有 Thom 谱” 为$\mathsf{Sp}$ 中的余极限 $$ \mathrm{M}G:= \operatorname{colim}(\mathbf{B} G \to \mathbf{B}\mathrm{O}_n \to \mathsf{Sp}). $$
性质
幺半性
对于 $X$ 上的向量丛 $\xi$ 与 $Y$ 上的向量丛 $\eta$, 记 $\xi\boxplus\eta$ 为 $X\times Y$ 上 $\xi$ 与 $\eta$ 的外直和, 则 $(X\times Y)^{\xi\boxplus\eta}\simeq X^\xi \wedge Y^{\eta}$, 从而 $$ \operatorname{Th}(\xi\boxplus\eta)\simeq\operatorname{Th}(\xi)\wedge\operatorname{Th}(\eta); $$ 这是由于空间偶的缩积 $$ (V,V_0)\wedge (W,W_0)=(V\times W,V\times W_0\cup V_0\times W). $$
与配边的关系
$\mathrm{M}G$ 的 $n$ 阶同伦群自然同构于 $G$-结构 $n$ 维流形的配边群.