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域 [域]

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代数闭包 [代数闭包]

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域 $F$ 的代数闭包是满足如下条件的域扩张 $F\hookrightarrow\overline{F}$:

$F \hookrightarrow \overline{F}$ 为代数扩张;
$\overline{F}$ 为代数闭域.

代数闭包在同构意义下唯一, 但可能有非平凡自同构.

可分闭包 [可分闭包]

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定义

域 $F$ 的可分闭包是满足如下条件的域扩张 $F \hookrightarrow F_S$:

$F \hookrightarrow F_S$ 为可分扩张;
$F_S$ 为可分闭域.

取定 $F$ 的代数闭包 $\overline{F}$, 那么 $F$ 的可分闭包也可定义为 $\overline{F}$ 中在 $F$ 上可分的元素构成的子域.

性质

可分闭包是正规的, 从而是 Galois 扩张.

域的可分闭包在同构意义下唯一, 但可能有非平凡的自同构.

可分闭域 [可分闭域]

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定义

可分闭域 (separably closed field) 是没有有限可分扩张的域.