观念
若域扩张类比于覆叠, 那么分裂域则是覆叠的局部平凡化. 这里的局部是指通过覆盖 (更具体地说是平展覆盖).
对于域 $k$ 上的多项式 $f$, 域扩张 $k\subset K$ 分裂 $f$, 等价于如下条件: 拉回
$$
\begin{array}
{ccc}
&&\operatorname{Spec}k[x]/(f)\\
&&\downarrow\\
\operatorname{Spec}K & \to & \operatorname{Spec}k
\end{array}
$$
是若干个 $\operatorname{Spec}K$ 的无交并.
It was this observation that led Grothendieck to think that the neighborhoods $U$ in topological spaces could effectively be replaced by maps $C \to X$ which are not necessarily monic.
— Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk SGL III.1 节
定义
域 $k$ 上一族多项式 $S\subset k[x]$ 的分裂域是满足如下条件的域扩张 $k\subset K$:
- $S$ 中的每个多项式在 $K$ 上分裂为一次多项式的乘积;
- $K$ 中包含 $k$ 以及 $S$ 中的多项式的所有根的最小的子域是 $K$ 自身.
性质
自同构
一个可分多项式 $f\in k[x]$ 的分裂域 $K$ 的自同构 $\operatorname{Aut}_k(K)$ 的阶数恰为 $f$ 的次数.