观念
约化群的结构由根控制.
定义
设 $G$ 是域 $F$ 上的线性代数群, 定义其幂幺根 (unipotent radical) $R_u(G)$ 为其最大正规连通幂幺子群. 若 $R_u(G)$ 平凡, 则称 $G$ 为约化群.
例
- $\mathrm{GL}_n$
- $\mathrm{SL}_n$
- $\mathrm{Sp}_{2n}$
- 环面 $T_n$
- $\mathrm{PGL}_n$
非约化群的例子
如下代数群不是约化群:
- 可逆上三角矩阵群 $B_n$, 其幂幺根为对角线全为 $1$ 的上三角矩阵的子群.
- 抛物子群
$$
P = \Big\{\begin{pmatrix}
A & * \\ 0 & B
\end{pmatrix}\Bigm| A\in\mathrm{GL}_r,B\in\mathrm{GL}_s\Big\}
$$
其幂幺根为
$$
U_P= \Big\{\begin{pmatrix}
I_r & * \\ 0 & I_s
\end{pmatrix}\Big\}.
$$
此时有分裂短正合列 $U_P \hookrightarrow P \to \mathrm{GL}_r\times\mathrm{GL}_s$. 这是 Levi 分解的例子.
相关概念
半单群