加权极限 [加权极限]
加权极限 [加权极限]
观念
定义
设 $\mathcal V$ 为完备, 余完备闭对称幺半范畴, $I,\mathcal C$ 为 $\mathcal V$-充实范畴.
给定 $\mathcal V$-充实的图 $X\colon I\to\mathcal C$ 与权 (weight) $W\colon I\to\mathcal V$, 加权极限 $\operatorname{lim}^W X$ (又记作 $\{W,X\}_I$) 满足如下泛性质: $$ \begin{aligned} &\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,\operatorname{lim}^W X)\\ \simeq\, &\operatorname{Hom}_{\mathsf{Fun}_{\mathcal V}(I,\mathcal V)}(W,\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,X(-))). \end{aligned} $$
性质
与端的关系
当 $\mathcal C$ 中对象沿 $\mathcal V$ 中对象的幂存在时, 加权余极限等于端 $$ \operatorname{lim}^W X = \int^*_{i\in I} [W_i, X_i]. $$
证明. $$ \begin{aligned} &\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,\operatorname{lim}^W X)\\ &\simeq\operatorname{Hom}_{\mathsf{Fun}_{\mathcal V}(I,\mathcal V)}(W,\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,X(-)))\\ &\simeq\int^*_{i\in I}\operatorname{Hom}_{\mathcal V}(W_i,\operatorname{Hom}_{\mathcal C} (c,X_i))\\ &\simeq\int^*_{i\in I}\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(c,[W_i, X_i])\\ &\simeq\operatorname{Hom}_{\mathcal C}\Big( c, \int^*_{i\in I}[W_i, X_i]\Big). \end{aligned} $$