定义
记 $\Delta_{\bot}$ 为有限非空全序集与保持最小值的映射构成的范畴. 事实上,
$$
\Delta_{\bot} = \mathsf{LMod}_{\Delta_+}([0])
$$
是游走的结合代数 $[0]$ 上的左模范畴.
因此其到增广单纯形范畴 $\Delta_+$ 的遗忘函子 (注意并非全忠实函子)
$$
U\colon \Delta_{\bot}\rightarrow \Delta_+, [n]\mapsto [n]
$$
有左伴随
$$
C_+\colon \Delta_+ \to \Delta_{\bot}, [n]\mapsto [0] * [n]
$$
对全序集自由地添加一个最小值“, 可类比于锥操作.
从而 (当 $\mathcal C$ 完备且余完备时) 有预层范畴之间的四元伴随
$$
(C_+)_!\dashv [U_!=(C_+)^*] \dashv [U^* =(C_+)_*] \dashv U_*.
$$
设 $X\colon \Delta_+^{\mathrm{op}}\to\mathcal C$ 为增广单纯对象, 定义其分裂为下图.
换言之, $X = (C_+)^* \overline{X} = U_!\overline{X}$. 分裂是结构而非性质.
注意到, $(C_+)^*=U_!$ 在可表函子上的作用为 $(C_+)^*\mathbf{y}([n]) = \mathbf{y}([n])$. 而 $(C_+)^*$ 作为左伴随保持余极限, 故有如下直观: $\Delta_\bot$ 的对象为固定顶点的锥, $\overline{X}$ 是一族固定顶点的锥的粘合, 从而是 “可以缩到顶点” 的单纯对象.
有另外一种不同的 “分裂” 概念, 并且似乎不等价 (因为下面的概念是性质而非结构), 我不知道下面的概念有什么用, 暂且记录于此.
记 $\mathrm{surj}(j,k)$ 为单纯集 $\Delta^j$ 到 $\Delta^k$ 的满射的集合. 设 $K$ 为单纯对象, 其 $n$ 阶分裂是一系列子对象 $N_k \subset K_k\,(k\leq n)$, 称为非退化部分, 满足对 $0\leq j\leq n$, 有典范的同构 $\coprod_{\mathrm{surj}(j,k)}N_k \to K_j$.
直观上, 这个条件是说 $K$ 的每个可能退化的单形都唯一地对应一个非退化单形.
性质
余极限
命题. 设单纯对象 $X\colon \Delta^{\mathrm{op}}\to\mathcal C$ 有一分裂 $\overline{X}\colon \Delta^{\mathrm{op}}_{\bot} \to \mathcal C$, 那么其自带的增广 $\overline{X}(\{\bot\})$ 即是 $X$ 的几何实现.
证明. 因为 $C_+\colon \Delta\to\Delta_{\bot}$ 是左伴随, 所以 $(C_+)^{\mathrm{op}}\colon \Delta^{\mathrm{op}} \to\Delta_{\bot}^{\mathrm{op}}$ 是右伴随, 从而是共尾函子. 又注意到 $\{\bot\}$ 是 $\Delta_{\bot}$ 的零对象, 故有
$$
\overline{X}(\{\bot\}) = \operatorname{colim}\overline{X} =\operatorname{colim}X.
$$
推论. 分裂单纯对象是绝对余极限.
单子性
参考资料
Artin, Mazur, Etale Homotopy Theory