定义
在一个范畴 $\mathcal C$ 中, 称对象 $P$ 为投射对象是指 $\operatorname{Hom}(P,-)\colon \mathcal C\to\mathsf{Set}$ 保持满射, 也即 $P$ 具有关于满射的左提升性质, 即对任意满射 $A\twoheadrightarrow B$, 态射 $P\to B$ 可提升为 $P\to A$.
在 Abel 范畴中, 对象 $P$ 为投射对象当且仅当 $\operatorname{Hom}(P,-)$ 正合.
称范畴 $\mathcal C$ 有足够多投射对象是指每个对象都有来自投射对象的满射.
例
选择公理的一种表述是集合范畴的每个对象都是投射对象.
$\mathsf{Ab}$ 中的投射对象为自由群.
对于交换环 $R$, $R\mathsf{Mod}$ 中的投射对象为自由模的直和项.
相关概念
紧投射生成元