综合微分几何是综合数学的微分几何的分支.
综合微分几何的模型一般是一个包含光滑流形和一些微分几何关心的无穷小对象的意象, 即其语言可理解为该意象的内语言.
综合微分几何讲稿
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综合微分几何使用无穷小的空间, 以无坐标的方式, 将 “微分” 的过程变成纯粹的代数.
综合微分几何的公理始于环化意象 $(\mathcal E,R)$. 无穷小空间引入了 $k$-阶相邻 $(k=0,1,2,\cdots)$ 的概念, 这个关系在所有映射下不变.
开集的概念
我们在 $R$ 上公理化地定义开集, 其中最重要的是要求可逆元的集合 $R^*$ 是开集.
具体地, 我们假定在 $\mathcal E$ 的所有态射中 (先天) 给定了一类态射, 称作 “开含入” (open inclusions), 满足拉回之下的稳定性 (stability under pullback), 且 $R$ 的可逆元集合到 $R$ 的含入是开含入.
开集的概念有多种不同的选择. 内蕴 (intrinsic) 地定义开集是有可能的, 例如下面讲的形式开; 但形式开的概念会使得 $R$ 不连通. 还有另外一种内蕴的开集的概念, 不会让 $R$ 不连通, 但更复杂.
有了开集, 就可以谈论局部的概念. 流形是局部微分同胚于向量空间的空间, 即存在一族空间 $\{U_i: i\in I\}$ 与开含入 $U_i\to M$, $U_i\to R^n$, 且所有 $U_i\to M$ 合在一起是满的.
注意, 流形的概念不仅依赖于 “开集” 的概念, 还依赖于 “族” 的概念. 这里指标集 $I$ 是一个外蕴 (external) 的集合, 而不是 $\mathcal E$ 中的空间.
我们假设开集都是 “形式开” 的. 称子集 $M\subset R^n$ 形式开 (formally open) 是指, 若 $a\in M$, $x$ 无穷小, 则 $a+x\in M$. 在综合微分几何中 “开” 的概念常常需要替换为形式开.
微积分
在综合微分几何中, 微分的技术建立在 KL 公理之上. KL 公理大致是说无穷小空间出发的映射都是多项式.