定义
在综合微分几何中, 最基本的无穷小空间是直线 $R$ 上的一阶无穷小线段 $D\subset R$,
$$
D = \{x\in R : x^2=0\}.
$$
一般地, $R^n$ 中的一阶无穷小对象 $D(n)\subset R^n$ 定义为
$$
D(n)=\{(x_1,\cdots,x_n)\in R^n : \forall i\forall j, x_ix_j = 0\}.
$$
有包含关系 $D(n)\subset D^n$.
定义 $k$-阶无穷小对象
$$
D_k(n) = \{(x_1,\cdots,x_n)\in R^n: \forall i_1 \cdots \forall i_{k+1},x_{i_1}\cdots x_{i_{k+1}}=0 \}.
$$
则有 $\{0\} \subset D(n)\subset D_2(n)\subset D_3(n)\subset\cdots$. 定义
$$
D_\infty(n)=\bigcup_k D_k(n).
$$
对于 $R$-模 $V$, 定义
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D_k(V)=\{x\in V: x^{\otimes (k+1)}=0\in V^{\otimes (k+1)}\}.
$$
不过有一个细节没有想清楚: 对于 $R$-模 $W$ 以及 $x\in W$, 假设对任意 $R$-模同态 $f\colon W\to R$ 有 $f(x)=0$, 是否可以推出 $x=0$.
性质
$D_k(n)$ 在数乘下封闭: 对 $x\in D_k(n), \lambda\in R$ 有 $\lambda x\in D_k(n)$.
$D_k(n)$ 在加法下一般不封闭, 但有 $D_k(n) + D_\ell(n)\subset D_{k+\ell}(n)$. 因此, $D_{\infty}(n)$ 在加法下封闭.