带点意象 [带点意象]

观念

带点意象就是意象带有点到它的一个几何态射.

性质

带点意象 $(\mathcal X,x\colon \mathrm{pt}\to\mathcal X)$, 有两个几何态射

• $p=(\mathrm{const}\dashv\Gamma)\colon \mathcal X\to\mathrm{pt}$,
• $x=(x^*\dashv x_*) \colon \mathrm{pt}\to\mathcal X$.

其中

• $\mathrm{const}$ 称为常值层函子,
• $\Gamma$ 称为整体截面函子,
• $x_*$ 称为摩天大楼层 (skyscraper sheaf),
• $x^* = (-)_x$ 称为茎.

由于 $px = \mathrm{id}_{\mathrm{pt}}$, 有 $$ \Gamma\circ x_* = \mathrm{id}, $$ $$ x^*\circ\mathrm{const} = \mathrm{id}. $$ 从而有自然变换 $$ \Gamma \simeq x^*\,\mathrm{const}\,\Gamma \to x^*. $$ 当这个自然变换为同构时称 $(\mathcal X,x)$ 为局部意象.