观念
Morita 等价是模范畴的等价. 通过追踪具有特殊范畴论性质的对象 (有限生成投射生成元), 可以给出 Morita 等价的具体刻画.
更一般的观念见 Morita 等价 (观念).
定义
代数
设 $k$ 为交换环, $A,B$ 为 $k$ 上的结合代数, 若如下等价条件成立, 则称 $A$ 与 $B$ Morita 等价:
- 左模范畴 $\mathsf{LMod}(A)$ 与 $\mathsf{LMod}(B)$ 等价;
- 右模范畴 $\mathsf{RMod}(A)$ 与 $\mathsf{RMod}(B)$ 等价;
- 存在 $(A,B)$-双模 $M$ 与 $(B,A)$-双模 $N$ 满足
$$
M\otimes_B N\simeq A,\,N\otimes_A M\simeq B.
$$
- $A$ 同构于左 (右) $B$-模范畴中某个有限生成投射生成元的自同态代数.
- $B$ 同构于左 (右) $A$-模范畴中某个有限生成投射生成元的自同态代数.
充实范畴
设 $\mathcal V$ 为 (完备, 余完备) 闭对称幺半范畴, 例如交换环 $R$ 上的模范畴 $\mathsf{Mod}(R)$.
回忆, $\mathcal V$ 中的结合代数等同于仅有一个对象的 $\mathcal V$-充实范畴. 所以结合代数的 Morita 等价是下面的概念的特例:
定义. 对于两个 $\mathcal V$-充实范畴 $\mathcal A,\mathcal B$, 定义其 Morita 等价为如下两个等价的条件:
- $\mathcal V$-充实范畴 $\mathsf{LMod}(\mathcal A)$ 与 $\mathsf{LMod}(\mathcal B)$ 等价;
- 存在 $(\mathcal A,\mathcal B)$-双模 $M$ 与 $(\mathcal B,\mathcal A)$-双模 $N$ 满足
$$
M\otimes_{\mathcal B} N\simeq\mathcal A,\,\, N\otimes_{\mathcal A}M\simeq\mathcal B.
$$
见充实范畴上的模.
性质
以下的 “环” 指的是固定的含幺交换环 $k$ 上的结合代数.
定义. 环 $A$ 上的右模 $M$ 的 Morita 语境 (Morita context) 是如下的六元组 $(A,M,N,E,\alpha,\beta)$:
- $N=\operatorname{Hom}_A(M,A)$;
- $E= \operatorname{End}_A(M)$;
- $M\in\mathsf{BiMod}(E,A)$, $N\in\mathsf{BiMod}(A,E)$;
- $\alpha\colon N\otimes_{E} M \to A$, $f\otimes x\mapsto f(x)$;
- $\beta\colon M\otimes_A N \to E$, $x\otimes f\mapsto xf(-)$;
下面两个命题显示了生成元和有限生成投射这两个性质之间的某种类比; 这两个性质是纯范畴论性质, 也即在范畴等价之下不变; 特别地, 模范畴之间的等价必须尊重这两个性质. 代数 $A$ 在 $\mathsf{RMod}(A)$ 中同时是生成元与有限生成投射对象, 从而在任何等价的范畴中也是有限生成投射生成元. 这一观察是 Morita 理论的核心.
命题.
设 $M$ 是 $\mathsf{RMod}(A)$ 的生成元, 则
- $\alpha\colon N\otimes_E M\to A$ 为同构;
- $N\simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf{LMod}(E)}(M,E)\in\mathsf{BiMod}(A,E)$;
- $M\simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf{RMod}(E)}(N,E)\in\mathsf{BiMod}(E,A)$;
- $A\simeq\operatorname{End}_{\mathsf{RMod}(E)}(N)\simeq\operatorname{End}_{\mathsf{LMod}(E)}(M)$.
命题.
设 $M$ 是 $\mathsf{RMod}(A)$ 的有限生成投射对象, 则
- $\beta\colon M\otimes_A N \to E$ 为同构;
- $M\simeq \operatorname{Hom}_{\mathsf{LMod}(A)}(N,A)\in\mathsf{BiMod}(E,A)$;
- $N\simeq\operatorname{Hom}_{\mathsf{RMod}(A)}(M,A)\in\mathsf{BiMod}(A,E)$ (当然, 这就是 $N$ 的定义);
- $E\simeq \operatorname{End}_{\mathsf{RMod}(A)}(M) \simeq\operatorname{End}_{\mathsf{LMod}(A)}(N)$ (第一个同构就是 $E$ 的定义).
命题 (“Morita I”). 设 $M$ 是 $\mathsf{RMod}(A)$ 的有限生成投射生成元, $(A,M,N,E,\alpha,\beta)$ 是对应的 Morita 语境, 则
- $-\otimes_A N \colon \mathsf{RMod}(A) \to \mathsf{RMod}(E)$ 与 $-\otimes_E M \colon \mathsf{RMod}(E) \to \mathsf{RMod}(A)$ 是一对互逆的等价;
- $N\otimes_E - \colon \mathsf{LMod}(E) \to \mathsf{LMod}(A)$ 与 $M\otimes_A - \colon \mathsf{LMod}(A) \to \mathsf{LMod}(E)$ 是一对互逆的等价.
命题 (“Morita II”). 设 $A,B$ 为环,
$$
F\colon \mathsf{RMod}(A) \to \mathsf{RMod}(B),
G\colon \mathsf{RMod}(B) \to \mathsf{RMod}(A)
$$
为互逆的等价,
则有
- $N = F(A) \in\mathsf{BiMod}(A,B)$, $F\simeq -\otimes_A N$;
- $M = G(B) \in\mathsf{BiMod}(B,A)$, $G\simeq -\otimes_B M$.
定义. 对于环 $A,B$ 与右 $A$-模 $M$, 若 $(B,A)$-双模 $M$ 为 $\mathsf{RMod}(A)$ 的有限生成投射生成元, 且 $B\simeq\operatorname{End}_{\mathsf{RMod}(A)}(M)$, $A\simeq\operatorname{End}_{\mathsf{LMod}(E)}(M)$, 则称 $M$ 为 $(B,A)$-pro-生成元 (progenerator).
命题 (“Morita III”). 范畴等价 $\mathsf{RMod}(A) \to \mathsf{RMod}(B)$ 的同构类一一对应于 $(B,A)$-pro-生成元的同构类. 范畴等价的复合等同于紧投射生成元的张量积.