观念
结合代数, 又叫 $\mathbb E_1$-代数, $A_\infty$-代数, 是若干元素可以有序地结合起来的结构. 给定 $n$ 个元素的有序组 $(x_1,\cdots,x_n)$, 仅有唯一的方式将它们结合起来 $x_1\cdots x_n$, 即结合的最终结果 “与加括号的方式无关”.
在结合代数的结构之上, 可以考虑 “结合代数中的结合代数” ($\mathbb E_2$-代数), “结合代数中的结合代数中的结合代数” ($\mathbb E_3$-代数), …, 以至于无穷. 在无穷处, $\mathbb E_\infty$-代数就是交换代数.
定义
使用算畴
结合代数可定义为结合算畴上的代数. 参见算畴.
使用语法范畴
积幺半范畴
在积幺半范畴的特殊情形, 结合代数是幺半群的 Lawvere 理论的模型, 即其语法范畴为有限生成自由幺半群的范畴的对偶, 具体地:
- 其对象为有限集;
- 态射 $\{x_1,\cdots,x_n\}\to \{y_1,\cdots,y_m\}$ 为形如 $y_i = f_i(x_1,\cdots,x_n)$ 的变量代换, 每个 $f_i$ 为幺半群的理论中的公式, 即 $\{x_1,\cdots,x_n\}$ 上的一个列表; 等价地, 一个态射是 $\{y_1,\cdots,y_m\}$ 到 $\{x_1,\cdots,x_n\}$ 生成的自由幺半群的一个集合映射.
那么积幺半范畴 $\mathcal C$ 中的结合代数即是上述范畴到 $\mathcal C$ 的保持有限积的函子.
一般幺半范畴
在一般的幺半范畴中, 结合代数可由如下语法范畴定义:
- 其对象为有限全序集 (包括空集);
- 其态射为偏序集映射;
- 幺半结构为
$$
\{a_1 < \cdots < a_n\} \otimes \{b_1 < \cdots < b_m\} = \{a_1 < \cdots < a_n < b_1 < \cdots < b_m\}.
$$
注意这个幺半结构不是对称幺半结构, 不存在自然同构 $A\otimes B\simeq B\otimes A$.
该幺半范畴的底层范畴就是增广单纯形范畴 $\Delta_+$, 其中的单点集是游走的结合代数.
对称幺半范畴
在一般的对称幺半范畴中, 结合代数可由如下语法范畴定义:
- 其对象为有限集;
- 态射 $X\to Y$ 是一个集合映射 $f\colon X\to Y$ 配备每个点的原像 $f^{-1}(y)$ 的一个全序;
- 对称幺半结构为无交并.
这个范畴是一个 PROP.
性质
具体表现
链复形范畴中的结合代数有很具体的表现. 见 $A_\infty$-代数.
例