Lambek 代数 [Lambek代数]

定义

范畴 $\mathcal C$ 的自函子 $F$ 的 Lambek 代数就是对象 $X\in\mathcal C$ 配备一个态射 $F(X)\to X$. 记 $\mathsf{alg}_F(\mathcal C)$ 为 $F$-Lambek 代数的范畴.

对偶地, $F$-Lambek 余代数是对象 $X\in\mathcal C$ 配备一个态射 $X\to F(X)$. 记 $\mathsf{coalg}_F(\mathcal C)$ 为 $F$-Lambek 余代数的范畴.

性质

始对象

Lambek 代数范畴中的始对象是一种重要范畴论构造, 见始代数.

自由–遗忘伴随

命题 (参考 GHK 4.2 节). 设范畴 $\mathcal C$ 具有滤余极限和二元和, 自函子 $P\colon \mathcal C\to\mathcal C$ 保持滤余极限. 那么有单子性的自由–遗忘伴随 $$ F\colon \mathcal C \rightleftarrows \mathsf{alg}_{P}(\mathcal C)\colon U, $$ 且这对伴随给出的单子 $\overline{P}$ 正是自函子 $P$ 上的自由单子. 进一步有 $$ \mathsf{Alg}_{\overline{P}}(\mathcal C) \simeq \mathsf{alg}_P(\mathcal C). $$

杠–余杠对偶

考虑扭箭头范畴 $\mathsf{Tw}(\mathcal C) \to\mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C$ (即 $\operatorname{Hom}\colon \mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C\to\mathsf{Ani}$ 的元素范畴), 有函子 $$ \mathsf{Tw}(P)\colon \mathsf{Tw}(\mathcal C) \to \mathsf{Tw}(\mathcal C), $$ 且其 Lambek 代数范畴有函子 $$ \begin{aligned} \mathsf{alg}_{\mathsf{Tw}(P)}(\mathsf{Tw}(\mathcal C)) &\to \mathsf{alg}_{P^{\mathrm{op}}}(\mathcal C^{\mathrm{op}}) \times \mathsf{alg}_P(\mathcal C) \\&= \mathsf{coalg}_P(\mathcal C)\times\mathsf{alg}_P(\mathcal C). \end{aligned} $$