百科. 泛包络代数 (算畴上的代数) [泛包络代数(算畴)]
百科. 泛包络代数 (算畴上的代数) [泛包络代数(算畴)]
定义
(单色, 对称) 算畴上的代数 $A$ 的泛包络代数 $\mathcal U A$ 是一个结合代数, 满足 $A$-模等同于 $\mathcal UA$-模. (前者是算畴上的代数上的模, 后者是结合代数上的模, 两个概念不太一样.)
生成元–关系
将算畴 $\mathcal O$ 视为对称序列 $\{\mathcal O(n)\}$, 则其上的代数 $A$ 的泛包络代数 $\mathcal U A$ 有如下生成元–关系表现: 直观上, 想象一个一般的 $A$-模 $M$,
- $\mathcal UA$ 的生成元为 “算子” $f(a_1,\cdots,a_{n-1},-)\colon M\to M$, $f\in\mathcal O(n)$, $a_i\in A\,(i=1,\cdots,n-1)$;
- 生成元之间有如下关系 (以 $a$ 表示 $A$ 的若干个元素):
- $f(g(a),-) = h(a,-)$, 其中 $h = f \circ (g,\mathrm{id})$;
- $f(a,-) g(a',-) = k(a,a',-)$, 其中 $k = f\circ (\mathrm{id},g)$.
例
$\mathbb E_n$-代数
$\mathbb E_n$-代数 $A$ 的泛包络代数为 “球壳” $S^{n-1}\times\mathbb{R}$ 上的分解同调 $$ \int_{S^{n-1}\times\mathbb{R}}A. $$
例如 $n=1$ 时, $\mathbb E_1$-代数 $A$ 的泛包络代数为 $A\otimes A^{\mathrm{op}}$.