香蕉空间
陈–Weil 理论由陈省身与 André Weil 在推广 陈–Gauss–Bonnet 定理时建立, 其大意是由曲率形式构造向量丛的拓扑不变量, 如陈类.
陈–Weil 同态
陈–Weil 同态是 $1$ 维 $G$ 系数非 Abel 上同调 (也即 $G$-主丛) 到 de Rham 上同调的映射:
$$
\operatorname{char}\colon H^1(X;G) \to \prod H_{dR}^{2n}(X).
$$
因为所有联络构成的空间可缩, 而 de Rham 上同调是同伦不变量, 所以我们希望陈–Weil 同态不依赖于联络的选取. (?)
不变多项式
矩阵空间 $M_n(\mathbb C)$ 上的不变多项式是指共轭不变 (即不依赖于基的选取) 的多项式: $P(T^{-1}AT)=P(A)$, 例如 $\det$ 与 $\operatorname{tr}$. 事实上, 矩阵的不变多项式必然是 $\operatorname{tr}A,\operatorname{tr}(A^2),\cdots,\operatorname{tr}(A^n)$ 的多项式 (形式上是特征值的对称多项式).
例. 给定向量丛 $E$ 上联络 $\nabla$ 的曲率形式 $\Omega$ (它是 $\operatorname{End}(E)$-值 $2$-形式, 在局部上可视为 $2$-形式构成的矩阵), 以及 $M_n(\mathbb C)$ 上的不变多项式 $P$, 我们可以定义 $P(\Omega)$.
引理. 对任意不变多项式 $P$, $P(\Omega)$ 是闭形式.
证明. 由第二 Bianchi 恒等式, $d\Omega^k =[\Omega^k,\omega]$.
$$
d(\operatorname{tr}(\Omega^k))= \operatorname{tr}(d\Omega^k)=\operatorname{tr [\Omega^k,\omega]}=0.
$$
命题. 上同调类 $[P(\Omega)]$ 不依赖于联络的选取.
不变多项式来自 Weil 代数.
主丛上的联络
Lie 代数 $\mathfrak g$ 上的不变多项式是指 $\mathfrak g$ 上 $\operatorname{ad}$-不变的多线性型.
设 $M$ 上有 $G$-主丛 $P$ 及其联络 $\gamma$, 曲率 $R$, 则陈–Weil 映射
$$
\left( \wedge^{2n} \mathfrak g^*\right)^{\mathfrak g}
\overset{\wedge^n R}{\longrightarrow} \Omega^{2n}(M)
$$
将不变多项式对应到 $M$ 上的微分形式.
李思老师的评注. $G$-主丛的联络可理解为映射 $X_{dR}=(X,\Omega_X^\bullet) \to B\mathfrak g=(*, C^\bullet(\mathfrak g))$, 其中 $B\mathfrak g$ 是一个超流形, $C^\bullet(\mathfrak g)$ 是 Chevalley–Eilenberg 上链. 联络的平坦性说明这个映射是 dg-映射, 从而陈–Weil 同态将 $B\mathfrak g$ 上的上同调类拉回到 $M$ 上.
基本构造
设 $G$ 为 Lie 群, 记 $I^k(G)$ 为 $\operatorname{Sym}^k\mathfrak g^*$ 中 $\operatorname{Ad}$-不变元素的子空间. 其上有继承自 $\operatorname{Sym}^k\mathfrak g^*$ 的交换代数结构. 由 Chevalley 同构, $I^k(G)$ 同构于
设 $P\to M$ 为 $G$-主丛, 考虑关联的 Lie 代数丛 $P\times_{\operatorname{Ad}}\mathfrak g$. 若 $f\in I^k(G)$ 为不变多项式, 则对该丛的 $k$ 个截面 $s_1,\cdots,s_k$, 存在 $M$ 上良定义的函数 $f(s_1,\cdots,s_k)$.
一般地, 设 $s_i$ 是 $P\times_{\operatorname{Ad}}\mathfrak g\otimes E_i$ 的截面 ($1\leq i \leq k$), 则 $f(s_1,\cdots,s_k)$ 是 $E_1\otimes\cdots\otimes E_k$ 的截面.
证明
第一陈类
定理. 设 $E\to M$ 是光滑复线丛, 带有联络 $\nabla$ 和曲率形式 $\Omega$, 则
$$
c_1(E)=\frac{1}{2\pi i}[\Omega].
$$